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que les segments

$AA_{1},\quad A_{1}A_{2},\quad A_{2}A_{3},\quad A_{3}A_{4},\ldots$

soient égaux entre eux ; alors dans la série de points $A_{2},A_{3},A_{4},\ldots$ il existera toujours un certain point $A_{n}$, tel que B soit situé entre A et $A_{n}$.

L’axiome d’Archimède est un axiome linéaire.

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Note (^[1]), Remarquons qu’aux cinq précédents groupes d’axiomes l’on peut encore ajouter l’axiome suivant qui n’est pas d’une nature purement géométrique et qui, au point de vue des principes, mérite une attention particulière.

Axiome d'intégrité (Vollständigkeit) (^[2]).

Au système des points, droites et plans, il est impossible d’adjoindre d’autres êtres de manière que le système ainsi généralisé forme une nouvelle Géométrie où les axiomes des cinq groupes I-V soient tous vérifiés ; en d'autre termes : les éléments de la Géométrie forment un système d'êtres qui, si l'on conserve tous les axiomes, n’est susceptible d’aucune extension.

Cet axiome ne nous dit rien sur l’existence de points limites ni sur la notion de convergence ; néanmoins l’on peut en l’invoquant démontrer ce théorème de Bolzano en vertu duquel, pour tout ensemble de points situés sur une droite entre deux points de celle-ci, il doit toujours nécessairement exister un point de condensation. La valeur de cet axiome au point de vue des principes tient donc à ce que l’existence de tous les points limites en est une conséquence et que, par

1. M. Hilbert a bien voulu écrire cette Note inédite pour la traduction de son Mémoire, ainsi qu’une longue addition à la conclusion. Le traducteur saisit avec empressement cette occasion pour présenter ici ses très cordiaux remerciements à M. L. Gérard, professeur au Lycée Charlemagne, et à M. P. Sückel, professeur à l’Université de Kiel, pour leurs précieux conseils et leur aide dans la correction des épreuves. Il ne saurait oublier non plus de remercier encore une fois M. Hilbert et M. Teubner d’avoir autorisé la publication de ce Mémoire.
2. Comparer ma Communication à la réunion de savants tenue à Munich en 1899 : Ueber des Zahlbegriff (Berichte der Deutschen Mathematiker-Vereingung, 1900.)
   D. Hilbert