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des triangles (fig. 36) par

$a_{b},\quad a_{c},\quad b_{c},\quad b_{a},\quad c_{a},\quad c_{b},$

et par

$a'_{b},\quad a'_{c},\quad b'_{c},\quad b'_{a},\quad c'_{a},\quad c'_{b},$

le cas particulier du théorème que nous venons de démontrer fournit les proportions

$a_{b}:r=a'_{b}:r',\quad b_{c}:r=b'_{c}:r',$

$a_{c}:r=a'_{c}:r',\quad b_{a}:r=b'_{a}:r',$

de celles-ci, en vertu de la loi distributive, on conclut que

$a:r=a':r',\quad b:r=b':r',$

d’où, en se reportant à la loi commutative de la multiplication,

$a:b=a':b'.$

Du théorème XXII ainsi démontre nous tirons aisément le théorème fondamental de la théorie des proportions que voici :

Théorème XXIII. — Si l’on désigne par a, b et a', b' les segments respectifs découpés par deux parallèles sur les côtés d’un angle quelconque, la proportion

$a:b=a':b'$

est toujours vérifiée.

Réciproquement, lorsque quatre segments a, b, a', b' vérifient cette proportion, si l’on porte a, a' et b, b' sur les côtés respectifs d’un angle quelconque, les droites qui joignent les extrémités respectives de a, b et a', b' sont parallèles.