Soit (fig. 27) une droite quelconque du plan α passant par 0 et par un point C dont les coordonnées sont a et b. Si l’on désigne alorss
par x et y les coordonnées d’un point quelconque de l, nous tirons aisément du théorème XXII
Si l’ est une droite parallèle à l et déterminant sur l’axe des x le segment c, nous obtiendrons l’équation de la droite l’, en remplaçant, dans l’équation de la droite l le segment x par le segment x – c. L’équation de la droite sera donc
De ces développements nous concluons aisément, et indépendamment de l’axiome d’Archimède, que toute droite d’un plan est représentée par une équation linéaire entre les coordonnées x, y et, réciproquement, que toute équation linéaire de ce genre représente une droite, lorsque les coefficients de cette équation sont des segments appartenant à la Géométrie en question.
On démontrerait tout aussi aisément les résultats analogues dans la Géométrie de l’espace.
À partir de là, tout le reste de la Géométrie peut se construire d’après les méthodes usuelles de la Géométrie analytique.
Dans ce Chapitre III actuel, nous n’avons jusqu’ici, nulle part, fait
