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trie généralisée (par l’adjonction des éléments irrationnels) n’est autre que la Géométrie analytique usuelle de l’espace.
CHAPITRE IV.
THÉORIE DES AIRES PLANES.
§ 18[1].
Égalité par addition, égalité par soustraction des polygones.
Nous prendrons comme base de nos recherches, dans le Chapitre actuel IV, les mêmes axiomes que nous avons employés au Chapitre III, à savoir les axiomes planaires de tous les groupes, hormis l’axiome d’Archimède, c’est-à-dire les axiomes I, 1-2, et II-IV.
La théorie des proportions exposée dans le Chapitre III et le calcul segmentaire qui y a été introduit nous permettent d’établir la théorie d’Euclide des aires au moyen des axiomes précités, c’est-à-dire dans le plan et indépendamment de l’axiome d’Archimède.
Les développements du Chapitre III faisant essentiellement reposer
- ↑ En ce qui concerne la théorie des aires dans le plan, nous appelons avant tout l’attention sur les Travaux suivants de M. Gérard : Thèse de Doctorat sur la Géométrie non euclidienne (1892) et Géométrie plane (Paris, 1898). M. Gérard a exposé une théorie tout à fait analogue à celle du § 20 du présent Travail relativement à la mesure des polygones. La différence est que M. Gérard emploie des transversales parallèles, tandis que moi je me sers de transversales issues d’un sommet. En outre, le lecteur pourra comparer les Travaux suivants de F. Scurr, où l’on trouve aussi une exposition analogue : Sitzungberichte der Dorpater Naturf. Ges., 1892, et Lehrbuch der analytischen Géometrie, Leipzig, 1898, Introduction. Enfin, je renverrai encore à un Travail de O. Stoll : Monatshefte für Math. und Phyz., 5e année, 1894. (Note de M. Hilbert)
En outre, M. Gérard a encore traité la question des aires, par diverses méthodes, dans le Bulletin de Mathématiques spéciales (mai 1895), dans le Bulletin de la Société mathématique de France (décembre 1895), dans le Bulletin de Mathématiques élémentaires (janvier 1898, juin 1897, juin (1898).
(Note du traducteur.)
