Si nous supposons que ces deux mesures d’aires soient égales entre elles, on aura
de cette proportion résulte, d’après le théorème XXIII, que les deux droites BC' et B'C sont parallèles, et alors, d’après le théorème XXVII, nous reconnaissons que les deux triangles BC'B' et BC'C sont égaux par soustraction. L’addition du triangle ABC' fait voir ensuite que les deux triangles ABC et AB'C' sont égaux par soustraction. On a donc ainsi démontré que deux triangles rectangles qui ont même mesure d’aire sont aussi égaux par soustraction.
Prenons maintenant un triangle quelconque de base g et de hauteur h ; d’après le théorème XXVII, ce triangle sera égal par soustraction à un triangle rectangle où les deux cotes de l’angle droit seraient g et h, et, comme le triangle primitif a évidemment même mesure d’aire que le triangle rectangle, il s’ensuit que, dans nos dernières conclusions, il n’était pas nécessaire de se borner aux triangles rectangles. On a donc ainsi démontré que deux triangles quelconques qui ont même mesure d’aire sont aussi égaux par soustraction.
Soit maintenant un polygone quelconque P ayant une mesure d’aire assignée g.
Supposons que le polygone P puisse être décomposé en n triangles de mesures d’aires respectives ; on aura alors
Construisons maintenant un triangle ABC (fig. 35) de base AB = g et de hauteur h = 1 et marquons sur la base les points , tels que
Comme les triangles qui composent le polygone P ont respectivement mêmes mesures d’aire que les triangles ils leur sont aussi égaux par soustraction, en vertu de ce qui a été précédemment démontré. Par suite, le polygone P est égal par soustraction à un triangle de base g et de hauteur h = 1. De là résulte,
