cette harmonie, en apparence préétablie, si souvent remarquée par le mathématicien dans les questions, les méthodes et les conceptions des divers domaines de sa Science.
Examinons encore rapidement les exigences et les conditions générales auxquelles doit répondre la solution d’un problème mathématique. Avant tout, je placerai l’exactitude de la solution qui doit être obtenue au moyen d’un nombre fini de conclusions et qui doit reposer sur un nombre fini d’hypothèses fournies par le problème même et formulées dans chaque cas avec précision. Or, cette condition de la déduction logique au moyen d’un nombre fini de conclusions n’est pas autre chose que celle de la rigueur dans les démonstrations. En effet, la rigueur dans la démonstration, condition aujourd’hui en Mathématiques d’une importance proverbiale, correspond à un besoin philosophique général de notre entendement ; d’autre part, c’est seulement en satisfaisant, à cette exigence que les problèmes manifestent complètement leur fécondité et leur portée. Un nouveau problème, lorsqu’il tire son origine du monde extérieur, est comme un sauvageon qui ne se développe et ne porte des fruits que lorsqu’il a été greffé avec tous les soins de l’art du jardinier sur la souche mère, c’est-à-dire sur les connaissances mathématiques que nous possédons complètement.
Ce serait, du reste, une erreur de croire que la rigueur dans la démonstration est ennemie de la simplicité. De nombreux exemples, au contraire, montrent que la méthode la plus rigoureuse est aussi la plus simple et la plus facile à saisir. La recherche de la rigueur nous conduit toujours à découvrir des raisonnements plus simples, elle nous ouvre aussi la voie à des méthodes plus fécondes que les anciennes qui étaient moins rigoureuses. Ainsi la Théorie des courbes algébriques a éprouvé des simplifications incontestables et a beaucoup gagné en unité depuis l’emploi des méthodes rigoureuses de la théorie des fonctions et depuis l’introduction des considérations transcendantes auxiliaires. De même la démonstration que les séries de puissances admettent l’application des quatre opérations élémentaires de l’Arithmétique et peuvent être différentiées ou
