intégrées terme par terme, a simplifié l’Analyse tout entière. Il en est ainsi tout particulièrement des théories de l’élimination et des équations différentielles, ainsi que des démonstrations d’existence exigées dans la dernière de ces théories. Mais, à mon avis, l’exemple le plus frappant dans cet ordre d’idées est celui du Calcul des variations. Le traitement de la variation première et de la variation seconde des intégrales définies exigeait certains calculs extrêmement compliqués et les développements des anciens mathématiciens manquaient sur ce sujet de la rigueur nécessaire. C’est Weierstrass qui, le premier, nous a montré un chemin conduisant à une nouvelle fondation bien assurée du Calcul des variations. À la fin de la Conférence actuelle, j’indiquerai rapidement, en prenant comme exemple l’intégrale simple et l’intégrale double, comment, en suivant la voie ouverte par Weierstrass, on simplifie d’une manière étonnante le Calcul des variations ; je ferai voir que, dans la démonstration des critères nécessaires et suffisants pour l’existence d’un maximum ou minimum, le calcul de la variation seconde et une partie des fatigants raisonnements relatifs à la variation première sont absolument superflus, sans parler du progrès considérable apporté par la disparition de la restriction à des variations telles que les dérivées des fonctions ne varient que de peu.
Mais si je place avant tout la rigueur dans le raisonnement comme condition nécessaire à la solution complète d’un problème, je n’en élèverai pas moins la voix contre cette opinion que ce ne sont que les questions de l’Analyse ou même de l’Arithmétique qui soient seules susceptibles d’un traitement parfaitement rigoureux. Cette opinion émise de temps à autre par des autorités scientifiques, je la regarde comme absolument erronée.
Une notion si étroite de la condition de rigueur conduirait rapidement à ignorer toutes les conceptions tirées de la Géométrie, de la Mécanique et de la Physique ; elle barrerait le cours de tout ce qui découle du monde extérieur et, comme dernière conséquence, elle mènerait enfin au rejet des concepts du continu et du nombre irrationnel. Aussi quelle source de vie verrions-nous alors extirpée
