I. — Problème de M. Cantor relatif à la puissance du continu.
Deux systèmes, c’est-à-dire deux ensembles, de nombres réels ordinaires (ou de points) sont, d’après M. Cantor, dits équivalents ou de même puissance, lorsque l’on peut établir entre eux une relation telle qu’à chaque nombre de l’un des ensembles corresponde un nombre déterminé et un seul de l’autre. Les recherches de M. Cantor sur de tels ensembles rendent très probable l’exactitude d’un théorème qui, jusqu’ici, malgré les plus grands efforts, n’a pu être démontré par personne. Ce théorème est le suivant : Tout système de nombres réels en nombre infini, c’est-à-dire tout ensemble infini de nombres (ou de points), ou bien est équivalent à l’ensemble de tous les nombres entiers naturels 1, 2, 3, …, ou bien est équivalent à l’ensemble de tous les nombres réels, et par conséquent au continu, c’est-à-dire aux points d’un segment ; au point de vue de l’équivalence, il n’y aurait donc que deux ensembles de nombres : l’ensemble dénombrable et le continu.
De ce théorème résulterait également que le continu formerait la puissance immédiatement supérieure à la puissance des ensembles dénombrables. La démonstration de ce théorème serait alors comme un nouveau pont jeté entre les ensembles dénombrables et le continu.
Citons encore une très remarquable affirmation de M. Cantor, qui a un rapport des plus intimes avec le théorème précédent et qui en serait peut-être la clef de la démonstration. Un système quelconque de nombres réels est dit ordonné lorsque de deux nombres quelconques du système on a convenu lequel est le précédent et lequel est le suivant ; de plus cette convention doit être telle que, un nombre précédant un nombre , et le nombre précédant à son tour un nombre , l’on devra regarder comme précédant . L’ordre dit naturel des nombres d’un système est celui où l’on regarde un plus petit nombre comme précédant un plus grand qui sera de son côté regardé comme suivant le premier. Il y a, c’est
