facile à voir, une infinité d’autres manières d’ordonner les nombres d’un système.
Maintenant, si nous considérons un ordre déterminé de nombres et si parmi ceux-ci nous mettons à part un système particulier de nombres, ce que l’on nomme un système ou ensemble partiel, cet ensemble partiel sera également ordonné. Or, M. Cantor considère une espèce particulière d’ensembles ordonnés qu’il nomme ensembles bien ordonnés ; ce qui caractérise ces ensembles bien ordonnés, c’est qu’il existe non seulement dans l’ensemble même, mais encore dans tout ensemble partiel, un nombre qui précède tous les autres. Le système des nombres entiers 1, 2, 3, …, dans son ordre naturel, est évidemment un ensemble bien ordonné. Au contraire, l’ensemble de tous les nombres réels, c’est-à-dire le continu, dans l’ordre naturel, n’est pas un ensemble bien ordonné. En effet, considérons l’ensemble partiel formé par les points d’un segment où l’on a fait abstraction du point initial ; il est clair que cet ensemble partiel ne possède jamais aucun élément précédant tous les autres. Il se présente alors cette question : L’ensemble de tous les nombres ne pourrait-il être ordonné d’une autre manière telle que tout ensemble partiel eût un élément précédant tous les autres ? Autrement dit, le continu peut-il être conçu comme ensemble bien ordonné ? À cette question, M. Cantor croit que l’on peut répondre par l’affirmative. Il me semble extrêmement désirable d’obtenir une démonstration directe de cette remarquable affirmation de M. Cantor, en assignant par exemple effectivement un ordre des nombres tel que dans tout ensemble partiel on puisse assigner un nombre précédant tous les autres.
II. — De la non-contradiction des axiomes de l’Arithmétique.
Lorsqu’il s’agit de poser les principes fondamentaux d’une science, l’on doit établir un système d’axiomes renfermant une description complète et exacte des relations entre les concepts élémentaires de cette science. Ces axiomes sont en même temps les définitions de
