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D’autre part, je ferai remarquer qu’il peut très bien exister des équations fonctionnelles analytiques dont les seules solutions sont des fonctions non susceptibles de différentiation. Ainsi, on peut construire une fonction ${\varphi (x)}$ uniforme et continue, non susceptible de différentiation et qui représente l’unique solution des deux équations fonctionnelles

{\begin{aligned}\varphi (x+\alpha )-\varphi (x)&=f(x){\text{,}}\\\varphi (x+\beta )-\varphi (x)&=0{\text{,}}\end{aligned}}

où $\alpha$ et $\beta$ sont deux nombres réels et où $f(x)$ désigne une fonction uniforme analytique et régulière pour toutes les valeurs réelles de $x$ . La manière la plus simple de construire de pareilles fonctions, c’est d’employer des séries trigonométriques en se servant d’idées analogues à celles que M. Borel a appliquées, ainsi que M. Picard^[1] nous l’apprend, à la construction d’une solution non analytique, doublement périodique d’une certaine équation analytique aux dérivées partielles.

VI. — Le traitement mathématique des axiomes de la Physique.

Les recherches sur les principes fondamentaux de la Géométrie nous conduisent à envisager ce problème : Traiter sur ce modèle les branches de la Physique où les Mathématiques jouent aujourd’hui un rôle prépondérant ; ces branches de la Science sont, avant toutes autres, le Calcul des Probabilités et la Mécanique.

Quant aux axiomes du Calcul des probabilités^[2], il me semblerait très désirable que l’on en fît la discussion logique en même temps qu’en Physique mathématique on développerait parallèlement d’une manière rigoureuse et satisfaisante la méthode des

↑ Quelques théories fondamentales dans l’Analyse mathématique. Conférences faites à Clark University, 1900. — Extrait de la Revue générale des Sciences, publié sous forme de livre par Armand Colin et C^ie, p. 22.
↑ Comparer Bohlmann, Ueber Versicherungsmathematik, zweite Vorlesung, aus Klein und Riecke, Ueber angewandte Mathematik und Physik. Leipzig und Berlin, 1900.

[1] Quelques théories fondamentales dans l’Analyse mathématique. Conférences faites à Clark University, 1900. — Extrait de la Revue générale des Sciences, publié sous forme de livre par Armand Colin et C^ie, p. 22.

[2] Comparer Bohlmann, Ueber Versicherungsmathematik, zweite Vorlesung, aus Klein und Riecke, Ueber angewandte Mathematik und Physik. Leipzig und Berlin, 1900.

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