analytiques est, d’après un théorème énoncé par Lie[1] et démontré par Schur[2], toujours possible, pourvu que le groupe soit transitif et pourvu que l’on admette l’existence des dérivées premières et de certaines dérivées secondes des fonctions définissant le groupe.
L’étude des questions analogues dans le cas des groupes infinis est intéressante aussi, ce me semble. On est alors, en général, conduit au champ vaste et non sans intérêt des équations fonctionnelles. Celles-ci, jusqu’ici, ont été surtout étudiées dans l’hypothèse de la possibilité de différentier les fonctions qui s’y rapportent. En particulier les équations fonctionnelles, traitées avec tant de perspicacité par Abel[3], les équations aux différences finies, et d’autres équations déjà rencontrées ne nous apprennent rien par elles-mêmes sur cette condition de la possibilité de différentier les fonctions en question ; ce sont certaines démonstrations d’existence dans le calcul des variations qui m’ont directement imposé ce problème : tirer d’une équation aux différences la démonstration de la possibilité de différentier la fonction considérée. Dans tous ces cas on est donc conduit à cette question : Jusqu’à quel point les affirmations admissibles dans le cas où l’on suppose les fonctions susceptibles de différentiation conservent-elles, avec certaines modifications convenables, leur validité dans le cas où l’on rejette cette hypothèse ?
Remarquons d’ailleurs que M. Minkowski, dans sa Géométrie des nombres précitée, prend comme point de départ l’équation fonctionnelle
et parvient, au moyen de cette équation, à démontrer l’existence de certaines dérivées pour les fonctions en question.
