Page:Hilbert - Sur les problèmes futurs des mathématiques.djvu/31

VII. — Irrationalité et transcendance de certains nombres.

Les théorèmes arithmétiques de M. Hermite sur la fonction exponentielle et leur extension par M. Lindemann feront certainement l’admiration de toutes les générations futures de mathématiciens. Cette admiration accroît encore notre désir de continuer dans cette voie. C’est ce qu’a fait M. Hurwitz dans deux intéressants travaux sur les propriétés arithmétiques de certaines fonctions transcendantes^[1]. Aussi indiquerai-je ici une classe de problèmes qui me semblent devoir être attaqués les premiers. Lorsque nous savons de certaines fonctions transcendantes importantes de l’Analyse qu’elles prennent des valeurs algébriques pour certains arguments algébriques, cela nous semble toujours particulièrement remarquable et digne d’une étude approfondie. Nous nous attendons toujours à voir les fonctions transcendantes prendre, en général, pour des arguments algébriques des valeurs transcendantes, et quoique l’on sache bien qu’il existe des fonctions transcendantes entières possédant des valeurs rationnelles pour tous leurs arguments algébriques, néanmoins nous regardons comme extrêmement probable que la fonction exponentielle $e^{i\pi z}$, par exemple, qui, pour toutes les valeurs rationnelles de l’argument $z$ prend évidemment toujours des valeurs algébriques, prenne d’autre part, pour toutes les valeurs irrationnelles algébriques de l’argument $z$, des valeurs toujours transcendantes. Nous pouvons donner à cet énoncé la forme géométrique suivante : Lorsque, dans un triangle isoscèle, le rapport entre l’angle à la base et l’angle au sommet est algébrique, mais non rationnel, le rapport entre la base et l’autre côté sera toujours transcendant. Malgré la simplicité de cet énoncé et sa ressemblance avec les propositions découvertes par MM. Hermite et Lindemann, j’en regarde la démonstration comme extrêmement difficile, et il en sera de même de la proposition suivante : La puissance $\alpha ^{\beta }$, pour une base algébrique $\alpha$ et un exposant algébrique

1. Math. Annalen, t. XXII et XXXII.