irrationnel , comme par exemple le nombre ou , représente toujours un nombre transcendant ou pour le moins irrationnel. Il est certain que la résolution de ces problèmes et d’autres analogues doit conduire à des méthodes nouvelles, ainsi qu’à de nouveaux points de vue relativement à la nature de nombres irrationnels et transcendants particuliers.
VIII. — Problèmes sur les nombres premiers.
La théorie de la distribution des nombres premiers a reçu, dans ces derniers temps, une impulsion essentielle sous l’influence des travaux de MM. Hadamard, de la Vallée-Poussin, H. von Mangoldt et autres. Pour résoudre complètement le problème posé dans le Mémoire de Riemann Sur le nombre des nombres premiers inférieurs à une quantité donnée, il est encore nécessaire de démontrer l’affirmation si importante de Riemann que les zéros de la fonction , qui est représentée par la série
ont tous leur partie réelle égale à , abstraction faite des zéros connus, qui sont des nombres entiers négatifs. Une fois cette démonstration obtenue, le problème ultérieur sera la discussion plus précise de la série infinie de Riemann pour le nombre des nombres premiers, et il faudra en particulier reconnaître si la différence entre le nombre des nombres premiers inférieurs à une quantité et le logarithme intégral de devient effectivement infinie avec d’un ordre inférieur à ; il faudrait ensuite reconnaître si les termes de la formule de Riemann qui dépendent des premiers zéros complexes de la fonction sont la cause véritable de la condensation par places des nombres premiers, remarquée dans les dénombrements empiriques.
Après avoir épuisé ce sujet de la discussion de la formule de Riemann relative aux nombres premiers, on pourrait peut-être
