Le problème important qui suit servira de trait d’union entre la Théorie des nombres, d’une part, et l’Algèbre et la Théorie des fonctions, d’autre part.
XII. — Extension du théorème de Kronecker sur les corps abéliens à un domaine de rationalité algébrique quelconque.
C’est à Kronecker que l’on doit ce théorème que tout corps de nombres abélien dans le domaine des nombres rationnels est engendré par composition de corps de racines de l’unité. Ce théorème fondamental de la théorie des équations à coefficients numériques entiers renferme deux affirmations :
Premièrement, le théorème répond à la question relative au nombre et à l’existence des équations qui, dans le domaine des nombres rationnels, ont un degré, un groupe abélien et un discriminant assignés.
Secondement, le théorème nous dit que les racines de telles équations constituent un domaine de nombres algébriques qui coïncide exactement avec le domaine que l’on obtient lorsque, dans la fonction exponentielle , on donne successivement à l’argument toutes les valeurs numériques rationnelles.
La première affirmation soulève la question de la détermination de certains nombres algébriques au moyen de leur groupe et de leur ramification ; cette question correspond donc au problème connu de la détermination des fonctions algébriques appartenant à une surface de Riemann donnée.
La seconde affirmation fournit les nombres demandés par un moyen transcendant, à savoir, au moyen de la fonction exponentielle .
Après le domaine des nombres rationnels, le plus simple est celui du corps imaginaire quadratique ; le problème qui se présente d’abord est donc celui d’étendre à ce corps le théorème de Kronecker. Kronecker lui-même a affirmé que les équations abéliennes dans le domaine d’un corps quadratique sont fournies par les équations de transformation des fonctions elliptiques à module singu-
