en effet, cette fonction peut être construite par addition, soustraction, multiplication et division, et chacune de ces opérations ne représente qu’une fonction de deux arguments. On voit de même que les racines de toutes les équations résolubles par radicaux dans un domaine naturel de rationalité appartiennent à la classe précitée de fonctions ; en effet, aux quatre opérations élémentaires on ne fait qu’ajouter l’opération d’extraction de racines, qui représente uniquement une fonction d’un argument. Semblablement, les équations du cinquième et du sixième degré sont résolubles par le moyen de Tables nomographiques convenables ; en effet, ces équations, par le moyen de transformations de Tschirnausen, qui elles-mêmes n’exigent que l’extraction de racines, peuvent être mises sous une forme où les coefficients ne dépendent que de deux paramètres.
Or il est probable que les racines des équations du septième degré sont des fonctions de leurs coefficients qui n’appartiennent pas à la classe susdite des fonctions que l’on peut construire par le moyen d’un enchaînement fini de fonctions de deux arguments. Pour le prouver, il serait nécessaire de démontrer que l’équation du septième degré
est impossible à résoudre au moyen de fonctions continues quelconques de deux arguments seulement.
Je remarquerai seulement qu’un examen rigoureux m’a prouvé qu’il existe des fonctions analytiques de trois arguments impossibles à obtenir au moyen d’enchaînements en nombre fini de fonctions de deux arguments seulement[1].
XIV. — Démontrer que certains systèmes de fonctions sont finis.
Dans la Théorie des invariants algébriques, il me semble que les questions où il s’agit de savoir si les systèmes de formes complets
- ↑ Dans ce § XIII, en fait de méthodes nomographiques, M. Hilbert n’a visé que celles qui ne comportent aucun élément mobile. En effet, l’introduction d’éléments mobiles permet de construire des fonctions de plus de deux arguments. C’est ce que M. d’Ocagne a fait voir (Comptes rendus, t. CXXXI, p. 522 ; 1900), et cela
