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réponse à cette question est d’ailleurs importante pour la topologie des familles de courbes définies par des équations différentielles : Déterminer le nombre maximum et la situation relative des cycles limites de M. Poincaré dans le cas d’une équation différentielle du premier ordre et du premier degré de la forme

${\frac {dy}{dx}}=\mathrm {\frac {Y}{X}}$,

où $\mathrm {X} ,\mathrm {Y}$ désignent des fonctions rationnelles entières de degré $n$, de $x,y$, ou, en employant l’écriture homogène, de la forme

$\mathrm {X} \left(y{\frac {dz}{dt}}-z{\frac {dy}{dt}}\right)+\mathrm {Y} \left(z{\frac {dx}{dt}}-x{\frac {dz}{dt}}\right)+\mathrm {Z} \left(x{\frac {dy}{dt}}-y{\frac {dx}{dt}}\right)=0$,

où $\mathrm {X,Y,Z}$ désignent des fonctions rationnelles entières et homogènes de degré $n$, de $x,y,z$, ces fonctions devant être déterminées comme fonctions du paramètre.

XVII. — Représentation des formes définies par des sommes de carrés.

Une fonction ou forme rationnelle entière à nombre quelconque de variables et à coefficients réels est dite définie lorsqu’elle ne prend jamais de valeurs négatives pour aucune valeur réelle des variables. Le système de toutes les formes définies se comporte d’une manière invariante vis-à-vis des opérations de l’addition et de la multiplication ; le quotient de deux fonctions définies, tant que c’est une fonction entière des variables, est une forme définie. Le carré d’une forme quelconque est évidemment toujours une forme définie, mais, ainsi que je l’ai démontré^[1], une forme définie quelconque ne peut pas toujours être composée par addition au moyen de carrés de formes ; il se présente alors cette question, que j’ai résolue dans le sens affirmatif dans le cas des formes ternaires^[2] : Une forme définie quelconque peut-elle être toujours représentée

1. Math. Annalen, t. XXXII.
2. Acta mathematica, t. XVII.