comme quotient de sommes de carrés de formes ? Il serait en même temps extrêmement utile de savoir, dans certaines questions relatives à la possibilité de certaines constructions géométriques, si les coefficients des formes représentantes peuvent être toujours pris dans le domaine de rationalité donné par les coefficients de la forme représentée[1].
Je citerai encore un problème géométrique.
XVIII. — Partition de l’espace en polyèdres congruents.
Dans les questions où il s’agit de ces groupes de déplacements dans le plan, pour lesquels il existe une région fondamentale, on sait que la réponse est très différente suivant que l’on considère le plan (elliptique) de Riemann, le plan (parabolique) d’Euclide, ou le plan (hyperbolique) de Lobatchefskij. Dans le cas du plan elliptique, le nombre des régions fondamentales d’une espèce essentiellement différente est fini, et il suffit d’un nombre fini d’exemplaires de régions congruentes pour recouvrir sans lacunes le plan tout entier : le groupe est constitué par un nombre fini de déplacements. Dans le cas du plan hyperbolique, le nombre de régions fondamentales d’une espèce essentiellement différente est infini : ce sont les célèbres polygones de M. Poincaré ; pour recouvrir sans lacunes le plan tout entier, il faut un nombre infini d’exemplaires de régions congruentes. C’est le plan parabolique euclidien qui forme le cas intermédiaire ; en effet, dans ce cas il n’existe qu’un nombre fini d’espèces essentiellement différentes de groupes de déplacements à région fondamentale, tandis que pour recouvrir sans lacunes le plan tout entier il faut un nombre infini d’exemplaires de régions congruentes.
Des faits complètement analogues ont lieu dans l’espace à trois
- ↑ Comparer Hilbert, la Festschrift déjà citée ; Grundlagen der Geometrie, Chap. VII, en particulier le § 38.
