dimensions. Le fait que le nombre des groupes de déplacements dans l’espace elliptique est fini est une conséquence immédiate d’un théorème de M. C. Jordan[1], en vertu duquel le nombre des espèces essentiellement distinctes de groupes finis de substitutions linéaires à variables ne peut dépasser une certaine limite finie dépendant de . Les groupes de déplacements à région fondamentale dans l’espace hyperbolique ont été étudiés par MM. Klein et Fricke dans les Leçons sur la théorie des fonctions automorphes[2] ; enfin MM. Feodorow[3], Schœnflies[4], et dernièrement M. Rohn[5] ont démontré que, dans l’espace parabolique d’Euclide, il n’y a qu’un nombre fini d’espèces essentiellement différentes de groupes de déplacements à région fondamentale. Or, tandis que les résultats et les méthodes de démonstrations relatives aux espaces elliptiques et hyperboliques s’étendent immédiatement aux espaces à dimensions, il semble, au contraire, que la généralisation du théorème relatif à l’espace euclidien présente des difficultés considérables ; il serait donc à désirer que l’on se proposât cette recherche : Reconnaître si, dans l’espace euclidien à dimensions, il n’existe qu’un nombre fini d’espèces différentes de groupes de déplacements à région fondamentale.
Une région fondamentale de chaque groupe de déplacements, jointe aux régions congruentes provenant du groupe, fournit évidemment un recouvrement sans lacunes de l’espace tout entier. Alors se pose la question suivante : Existe-t-il aussi des polyèdres qui ne se présentent pas comme régions fondamentales de groupes de déplacements, et au moyen desquels cependant on peut, en juxtaposant convenablement les exemplaires congruents, arriver à remplir sans lacunes l’espace tout entier ? Je citerai aussi une question qui se relie à la précédente ; question importante pour la
