et qui est intimement liée à la fonction , ne vérifie aucune équation algébrique aux dérivées partielles ; dans l’étude de cette dernière question, on devra faire usage de l’équation fonctionnelle
D’autre part, si par des considérations arithmétiques et géométriques nous sommes conduits à envisager la classe de toutes les fonctions continues et susceptibles d’être différentiées indéfiniment, nous devrons dans leur étude renoncer à ce moyen de travail si maniable des séries de puissances et à cette propriété que la fonction soit complètement déterminée par la succession de ses valeurs dans une région quelconque, si petite qu’elle soit. Par conséquent, tandis que la précédente limitation du domaine fonctionnel semblait trop étroite, celle-ci nous paraît beaucoup trop large.
Le concept de fonction analytique, au contraire, embrasse dans son domaine toutes les fonctions les plus importantes de la Science, qu’elles proviennent de la Théorie des nombres, de la Théorie des équations différentielles ou des équations fonctionnelles algébriques, ou même encore de la Géométrie et de la Physique mathématique ; c’est donc avec raison que, dans le royaume des fonctions, l’on donne le rôle prépondérant aux fonctions analytiques.
XIX. — Les solutions des problèmes réguliers du calcul des variations sont-elles nécessairement analytiques ?
Je regarde comme un des faits vraiment les plus remarquables des éléments de la Théorie des fonctions analytiques qu’il y ait des équations aux dérivées partielles dont les intégrales sont toutes nécessairement des fonctions analytiques des variables indépendantes, ou, pour abréger le langage, qu’il y ait des équations aux dérivées partielles qui ne soient susceptibles que de solutions analytiques. Les équations aux dérivées partielles les plus connues de
