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cette espèce sont l’équation du potentiel

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=0$,

et certaines équations linéaires étudiées par M. Picard^[1], enfin l’équation différentielle

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=e^{f}$,

l’équation aux dérivées partielles des surfaces minima et beaucoup d’autres. La plupart de ces équations aux dérivées partielles ont ce signe distinctif commun : ce sont des équations différentielles de Lagrange, de certains problèmes du Calcul des variations, à savoir de ces problèmes de variation définis par la formule

$\iint \mathrm {F} (p,q,z\,;\,x,y)\,dx\,dy={\text{minimum}}$
$\left(p={\frac {\partial z}{\partial x}},\qquad q={\frac {\partial z}{\partial y}}\right)$,

où pour tous les arguments considérés doit avoir lieu l’inégalité

${\frac {\partial ^{2}\mathrm {F} }{\partial p^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {F} }{\partial q^{2}}}-{\left({\frac {\partial ^{2}\mathrm {F} }{\partial p\,\partial q}}\right)}^{2}>0$,

$\mathrm {F}$ étant une fonction analytique. Nous nommerons un tel problème du Calcul des variations, un problème régulier. Ce sont les problèmes réguliers du Calcul des variations qui jouent un rôle principal en Géométrie, en Mécanique et en Physique mathématique ; on est donc conduit à se demander si toutes les solutions des problèmes réguliers du Calcul des variations sont toujours nécessairement des fonctions analytiques, c’est-à-dire si toute équation aux dérivées partielles de Lagrange d’un problème régulier du Calcul des variations a comme propriété de n’admettre que des intégrales analytiques, alors même que la fonction, comme dans le problème de Dirichlet, prendrait sur le contour des valeurs quelconques continues, mais non analytiques.

1. Journal de l’École Polytechnique ; 1890.