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nous venons de citer le Livre en note. Ce traité de Calcul des variations est rédigé d’après les points de vue les plus nouveaux, et l’Auteur y a toujours eu égard à la parfaite rigueur exigée aujourd’hui.

Le Calcul des variations, au sens le plus large, est l’étude de la variation des fonctions et nous apparaît, à ce point de vue, comme une continuation nécessaire du Calcul différentiel et intégral. À ce point de vue, les recherches de M. Poincaré sur le Problème des trois corps, par exemple, forment un Chapitre du Calcul des variations, en ce sens que M. Poincaré, au moyen du principe des variations, déduit d’orbites connues, ayant certaines propriétés, de nouvelles orbites jouissant de propriétés semblables.

Aux remarques générales, faites au début de cette Conférence sur le Calcul des variations, je vais ajouter ici une rapide exposition de ce qui faisait l’objet de ces remarques.

Le problème le plus simple du Calcul des variations proprement dit consiste, comme on sait, à trouver une fonction $y$ de la variable $x$, telle que l’intégrale définie

$\mathrm {J} =\int _{a}^{b}\mathrm {F} (y_{x},y\,;\,x)\,dx\qquad \left(y_{x}={\frac {dy}{dx}}\right)$

prenne la plus petite valeur de toutes celles que prend ladite intégrale quand on y remplace $y$ par d’autres fonctions de $x$ en conservant les mêmes valeurs initiales et finales données dans l’intégrale définie. On sait que, dans l’interprétation habituelle, l’évanouissement de la variation première

$\delta \mathrm {J} =0$

fournit, pour obtenir la fonction $y$ cherchée, l’équation différentielle bien connue du second ordre

(1)

${\frac {d\mathrm {F} _{y_{x}}}{dx}}-\mathrm {F} _{y}=0\qquad \left(\mathrm {F} _{y_{x}}={\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial y_{x}}},\quad \mathrm {F} _{y}={\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial y}}\right)$.

Maintenant, pour approfondir les conditions nécessaires et suffisantes à l’existence du minimum cherché, considérons l’inté-