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grale

$\mathrm {J} ^{*}=\int _{a}^{b}[\,\mathrm {F} +(y_{x}-p)\mathrm {F} _{p}]\,dx$
$\left[\,\mathrm {F} =\mathrm {F} (p,y\,;\,x),\qquad \mathrm {F} _{p}={\frac {\partial \mathrm {F} (p,y\,;\,x)}{\partial p}}\right]$

et cherchons comment nous devons choisir $p$ comme fonction de $x,y$, afin que la valeur de $\mathrm {J} ^{*}$ soit indépendante du chemin d’intégration, c’est-à-dire du choix de la fonction $y$ de la variable $x$. L’intégrale $\mathrm {J} ^{*}$ a la forme

$\mathrm {J} ^{*}=\int _{a}^{b}(\mathrm {A} y_{x}-\mathrm {B} )\,dx$,

où $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ ne renferment pas $y_{x}$, et l’évanouissement de la variation première

$\delta \mathrm {J} ^{*}=0$,

interprétée ainsi que l’exige la nouvelle manière de poser la question, fournit l’équation

${\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial y}}=0$,

c’est-à-dire que, pour la fonction $p$ des deux variables $x,y$, nous avons l’équation aux dérivées partielles du premier ordre

(1*)

${\frac {\partial \mathrm {F} _{p}}{\partial x}}+{\frac {\partial (p\mathrm {F} _{p}-\mathrm {F} )}{\partial y}}=0$.

L’équation différentielle ordinaire du second ordre (1) et l’équation aux dérivées partielles (1*) que nous venons de trouver ont entre elles un rapport intime. C’est ce que nous fait voir de suite clairement la transformation simple

${\begin{aligned}\delta \mathrm {J} ^{*}&=\int _{a}^{b}[\,\mathrm {F} _{y}\delta y+\mathrm {F} _{p}\delta p+(\delta y_{x}-\delta p)\mathrm {F} _{p}+(y_{x}-p)\delta \mathrm {F} _{p}]\,dx\\&=\int _{a}^{b}[\,\mathrm {F} _{y}\delta y+\delta y_{x}\mathrm {F} _{p}+(y_{x}-p)\delta \mathrm {F} _{p}]\,dx\\&=\delta \mathrm {J} +\int _{a}^{b}(y_{x}-p)\delta \mathrm {F} _{p}\,dx{\text{.}}\end{aligned}}$