c’est-à-dire que nous obtenons pour les fonctions
et
des trois variables
l’équation différentielle du premier ordre
(I*)
|
.
|
|
À cette équation si nous adjoignons encore l’équation aux dérivées partielles
(I*)
|
,
|
|
tirée des équation
![{\displaystyle z_{x}=p(x,y,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2322ce3a1d84aafc967a1c9ed525e49c1536d2be)
,
![{\displaystyle z_{y}=q(x,y,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4700a4d22253bdae0856dc500e1727b96f4aa277)
,
on voit que l’équation aux dérivées partielles du second ordre (I), relative à la fonction
des deux variables
, et le système simultané (I*) des deux équations aux dérivées partielles du premier ordre, relatif aux deux fonctions
des trois variables
, sont dans une relation tout à fait analogue à celle qui a lieu dans le cas précédent de l’intégrale simple entre les équations différentielles (1) et (1*).
L’intégrale
ayant une valeur indépendante du choix de la surface d’intégration, on a
,
où l’intégrale du second membre doit être étendue à une surface intégrale
des équations aux dérivées partielles
![{\displaystyle {\overline {z_{x}}}=p(x,y,{\overline {z}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd48389f5d2d79bc38a6ea0936a991c820397940)
,
![{\displaystyle {\overline {z_{y}}}=q(x,y,{\overline {z}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c5d7c9742246b49b38e475497942108911ad5cc)
;
au moyen de la précédente formule nous obtenons immédiatement la suivante
(IV)
|
,
|
|
où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {E} (z_{x},z_{y},p,q)&=\mathrm {F} (z_{x},z_{y})-\mathrm {F} (p,q)\\&\qquad -(z_{x}-p)\mathrm {F} _{p}(p,q)-(z_{y}-q)\mathrm {F} _{q}(p,q){\text{ ;}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3eaeafe8bf80312483163e74d28c16eb088d287)