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c’est-à-dire que nous obtenons pour les fonctions $p$ et $q$ des trois variables $x,y,z$ l’équation différentielle du premier ordre

(I*)

${\frac {\partial \mathrm {F} _{p}}{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {F} _{q}}{\partial y}}+{\frac {\partial (p\mathrm {F} _{p}+q\mathrm {F} _{q}-\mathrm {F} )}{\partial z}}=0$.

À cette équation si nous adjoignons encore l’équation aux dérivées partielles

(I*)

$p_{y}+qp_{x}=q_{x}+pq_{z}$,

tirée des équation

$z_{x}=p(x,y,z)$,$z_{y}=q(x,y,z)$,

on voit que l’équation aux dérivées partielles du second ordre (I), relative à la fonction $z$ des deux variables $x,y$, et le système simultané (I*) des deux équations aux dérivées partielles du premier ordre, relatif aux deux fonctions $p,q$ des trois variables $x,y,z$, sont dans une relation tout à fait analogue à celle qui a lieu dans le cas précédent de l’intégrale simple entre les équations différentielles (1) et (1*).

L’intégrale $\mathrm {J} ^{*}$ ayant une valeur indépendante du choix de la surface d’intégration, on a

$\int [\mathrm {F} (p,q)-(z_{x}-p)\mathrm {F} _{p}(p,q)+(z_{y}-q)\mathrm {F} _{q}(p,q)]\,d\omega =\int \mathrm {F} ({\overline {z_{x}}},{\overline {z_{y}}})\,d\omega$,

où l’intégrale du second membre doit être étendue à une surface intégrale ${\overline {z}}$ des équations aux dérivées partielles

${\overline {z_{x}}}=p(x,y,{\overline {z}})$,${\overline {z_{y}}}=q(x,y,{\overline {z}})$ ;

au moyen de la précédente formule nous obtenons immédiatement la suivante

(IV)

$\int \mathrm {F} (z_{x},z_{y})\,d\omega -\int \mathrm {F} ({\overline {z_{x}}},{\overline {z_{y}}})\,d\omega =\int \mathrm {E} (z_{x},z_{y},p,q)\,d\omega$,

où

${\begin{aligned}\mathrm {E} (z_{x},z_{y},p,q)&=\mathrm {F} (z_{x},z_{y})-\mathrm {F} (p,q)\\&\qquad -(z_{x}-p)\mathrm {F} _{p}(p,q)-(z_{y}-q)\mathrm {F} _{q}(p,q){\text{ ;}}\end{aligned}}$