Passant à un tout autre champ d’études, je citerai le Problème des trois corps.
M. Poincaré, en entreprenant de traiter à nouveau ce difficile problème et d’en avancer la solution, a découvert des méthodes fécondes et d’une grande portée en Mécanique céleste, qui sont aujourd’hui admises et appliquées même par l’astronome pratique.
Ces deux problèmes, celui de Fermat et celui des trois corps, nous semblent occuper comme les pôles opposés dans l’ensemble des problèmes ; le premier, libre création de la raison pure, le second, posé par les astronomes et indispensable pour la connaissance des phénomènes fondamentaux les plus simples de la nature.
Il arrive souvent aussi qu’un certain problème particulier se rattache aux branches les plus diverses de la Science mathématique. C’est ainsi que le Problème des lignes géodésiques joue un rôle des plus importants au point de vue de l’histoire ainsi que des principes, dans les fondements de la Géométrie, dans la théorie des courbes et des surfaces, dans la Mécanique, et enfin dans le Calcul des variations. Dans son livre sur l’Icosaèdre, M. F. Klein a, de même, très bien fait ressortir l’influence du rôle que joue le Problème des polyèdres réguliers dans la Géométrie élémentaire, dans la théorie des groupes et des équations, et dans la théorie des équations différentielles linéaires.
Pour mettre encore en pleine lumière l’importance de certains problèmes, je rappellerai que Weierstrass regardait comme une bienveillante disposition de la Providence d’avoir, au début de sa carrière, rencontré un problème fondamental auquel il pût s’attaquer, tel que le Problème d’inversion de Jacobi.
Ayant exposé l’importance générale des problèmes en Mathématiques, je passe à la question de savoir quelles sont les sources où le mathématicien les puise. Les premiers et les plus anciens problèmes de chaque branche de la Science mathématique tirent certainement leur origine de l’expérience, et c’est le monde de la connaissance extérieure qui les inspire. Les règles des opérations sur les nombres entiers ont été certainement découvertes lors d’un état infé-
