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Les développements indiqués peuvent, sans autre calcul, s’étendre au cas de deux ou un plus grand nombre de fonctions cherchées, ainsi qu’au cas d’une intégrale double ou multiple. Ainsi, dans le cas d’une intégrale double

$\mathrm {J} =\int \mathrm {F} (z_{x},z_{y},z,x,y)\,d\omega \qquad \left(z_{x}={\frac {\partial z}{\partial x}},\quad z_{y}={\frac {\partial z}{\partial y}}\right)$,

étendue à une région donnée $\omega$, l’évanouissement

$\delta \mathrm {J} =0$

de la variation première, interprétée dans le sens habituel, fournit, pour la fonction $z$ cherchée de $x,y$, l’équation différentielle du second ordre bien connue

(I)

${\frac {\partial \mathrm {F} _{z_{x}}}{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {F} _{z_{y}}}{\partial y}}-\mathrm {F} _{z}=0$ $\left(\mathrm {F} _{z_{x}}={\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial z_{x}}},\quad \mathrm {F} _{z_{y}}={\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial z_{y}}},\quad \mathrm {F} _{z}={\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial z}}\right)$.

D’autre part, considérons l’intégrale

$\mathrm {J} ^{*}=\int [\mathrm {F} +(z_{x}-p)\mathrm {F} _{p}+(z_{y}-q)\mathrm {F} _{q}]\,d\omega$
$\left[\mathrm {F} =\mathrm {F} (p,q,z\,;\,x,y),\;\mathrm {F} _{p}={\frac {\partial \mathrm {F} (p,q,z,x,y)}{\partial p}},\;\mathrm {F} _{q}={\frac {\partial \mathrm {F} (p,q,z,x,y)}{\partial q}}\right]$,

et demandons-nous comment nous devons prendre $p$ et $q$ comme fonctions de $x,y,z$, de manière que la valeur de $\mathrm {J} ^{*}$ soit indépendante du choix de la surface passant par la courbe gauche fermée donnée, c’est-à-dire indépendante du choix de la fonction $z$ des variables $x,y$.

L’intégrale $\mathrm {J} ^{*}$ a la forme

$\mathrm {J} ^{*}=\int (\mathrm {A} z_{x}+\mathrm {B} z_{y}-\mathrm {C} )\,d\omega$,

et l’évanouissement de la variation première

$\delta \mathrm {J} ^{*}=0$,

interprétée d’après le sens exigé par la nouvelle manière de poser la question, fournit l’équation

${\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial y}}+{\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial z}}=0$ ;