Une méthode analogue peut être suivie quand le groupement se fait selon les valeurs de deux ou de trois variables ; la représentation graphique se fera alors dans un plan ou dans un espace. Ici encore, chaque cas particulier a son point représentatif, dont les coordonnées indiquent les valeurs des variables fondamentales, et la grandeur sur laquelle on devra porter son attention, est de nouveau la densité de la distribution, c'est-à-dire le nombre des points par unité de surface ou unité de volume.
On comprend facilement l'extension qu'on peut donner à ce qui précède. Lorsqu'il y a n variables fondamentales, on peut considérer leurs valeurs comme les coordonnées d'un point dans un espace à n dimensions; on dira que ces points, ou les cas qu'ils représentent, sont distribués dans un domaine polydimensionnel, et on entendra par densité de la distribution le nombre des points par unité d'étendue.
Cette définition suppose qu'on puisse évaluer la grandeur d'un domaine qui est limité d'une manière quelconque; en d'autres termes, la grandeur d'un intervalle qu'on laisse libre aux variations des grandeurs fondamentales. C'est un problème qu'on peut toujours résoudre après avoir fixé que la grandeur d'un intervalle dans lequel les variables x(1), x(2), ..., x(n) sont simultanément comprises entre x(1) et x(1) + d(x(1)), x(2) et x(2) + d(x(2)), ..., x(n) et x(n) + d(x(n)) sera représentée par le produit d(x(1))*d(x(2))*...*d(x(n)).
Parmi les théorèmes dans lesquels il est question de l'étendue de ces domaines polydimensionnels, il y en a un dû à LIOUVILLE, qui est d'une fréquente application dans les théories moléculaires. Considérons un système matériel dont le mouvement est déterminé par les équations de HAMILTON
q' = (dE/dp), p' = -(dE/dq),
où l'on a désigné par q les n coordonnées de LAGRANGE, par q' les vitesses, par p les moments correspondants, et par E l'énergie exprimée en fonction des coordonnées et des moments. À chaque système de valeurs des q et des p existant à un moment t(1), correspondront des valeurs déterminées q' ,p
