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» Le second terme de $\mathrm {N} _{x},$ $\mathrm {N} _{y},$ $\mathrm {N} _{z},$ en $\varepsilon \left(\mathrm {D} _{x}+\mathrm {D} _{x}+\mathrm {D} _{z}\right),$ s’y trouvera évidemment négligeable, à côté des autres termes en $\varepsilon ,$ dans les mouvements où les changements de forme des particules seront incomparablement plus grands que ceux de leur volume, notamment dans tous les écoulements de liquides, et même dans les écoulements de gaz sous des différences de pressions assez petites par rapport à la pression elle-même.

» Après avoir substitué, dans (12), les valeurs (2) des vitesses de déformation, on portera ces expressions des forces $\mathrm {N} ,\mathrm {T}$ dans les équations indéfinies du mouvement moyen local,

(13)

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {d\mathrm {N} _{x}}{dx}}+{\frac {d\mathrm {T} _{z}}{dy}}+{\frac {d\mathrm {T} _{y}}{dz}}+\rho \mathrm {X} =\rho u',\\&{\frac {\mathrm {T} _{z}}{dx}}+{\frac {d\mathrm {N} _{y}}{dy}}+{\frac {d\mathrm {T} _{x}}{dz}}+\rho \mathrm {Y} =\rho v',\\&{\frac {d\mathrm {T} _{y}}{dx}}+{\frac {d\mathrm {T} _{x}}{dy}}+{\frac {d\mathrm {N} _{z}}{dz}}+\rho \mathrm {Z} =\rho w',\end{aligned}}\right.$

où $\mathrm {X} ,$ $\mathrm {Y} ,$ $\mathrm {Z}$ sont les composantes de la pesanteur $g$ et $u',$ $v',$ $w'$ celles de l’accélération moyenne locale, exprimables en $u,$ $v,$ $w$ et leurs dérivées à la manière ordinaire. L’on aura ainsi, sous forme explicite en $u,$ $v,$ $w,$ $p,$ les trois équations indéfinies du mouvement, si l’on parvient à connaître le mode de variation de $\varepsilon$ en fonction des données du problème.

§ v. — Expression du frottement extérieur et conditions relatives aux surfaces limites.

» 15. À la surface limite du fluide, les trois composantes, suivant les axes, de la pression moyenne locale de celui-ci sur sa couche superficielle, exprimées par les formules habituelles en fonction linéaire des $\mathrm {N} ,$ $\mathrm {T} ,$ égaleront les composantes contraires de l’action du milieu extérieur sur la même couche.

» Quand le milieur extérieur est une paroi fixe, l’ignorance où l’on est de la composante normale de sa pression se trouve suppléée par la connaissance de la composante analogue de vitesse, alors nulle. Mais on ne peut se dispenser d’avoir une formule de ses composantes tangentielles, c’est-à-dire du frottement extérieur $\mathrm {F} _{e},$ opposé en direction au glissement sur la paroi, des couches fluides presque contiguës, plus intérieurs toutefois que la couche extrêmement mince immobilisée par adhésion à la paroi. Si l’on prend celle d’entre elles qui sont à une distance de la paroi à peine perceptible, et néanmoins suffisante pour que leur vitesse moyenne locale