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» 16. Si donc $\mathrm {B}$ désigne un coefficient très notablement croissant avec le degré de rugosité, l’on aura une formule comme $\mathrm {B} \rho g\mathrm {V} ^{2}$ pour exprimer la partie du frottement extérieur due à l’impulsion des particules contre la paroi et liée aux petites sinuosités de leurs trajectoires, c’est-à-dire, en définitive, à l’agitation du fluide. Or, dans les écoulements tumultueux où la vitesse à la paroi sera un peu grande, cette partie principale $\rho g\mathrm {B} \mathrm {V} ^{2}$ du frottement extérieur masquera complètement l’autre partie qui seule le constituerait dans des mouvements bien continus, c’est-à-dire celle que donnerait la composante, suivant le sens général de l’écoulement tout autour, du frottement de la couche immobilisée, sur le fluide intérieur, si celui-ci prenait des mouvements réguliers tout en conservant la même vitesse moyenne locale $\mathrm {V}$ à la distance de la paroi où cette vitesse se produit effectivement. En effet, dans un tube capillaire où pareille vitesse s’observerait à pareille distance de la paroi, mais avec mouvements bien continus, le frottement extérieur ne serait certainement presque rien à côté de ce qu’il est dans le lit à grande section considéré ici.

» Nous aurons donc, pour l’expression approchée du frottement d’une paroi,

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$\mathrm {F} _{e}=\rho g\mathrm {B} \mathrm {V} ^{2}.$

» 17. À une surface libre, où le milieu extérieur sera une atmosphère très mobile et très peu dense, presque sans inertie, l’extrême facilité qu’aura le liquide sous-jacent à l’entraîner empêchera le frottement $\mathrm {F} _{e}$ d’acquérir des valeurs sensibles ; et l’on aura $\mathrm {F} _{e}=0,$ ou $\mathrm {B} =0$ dans la formule (14), encore applicable ainsi.

» L’action du liquide sur sa couche superficielle se réduira donc à sa composante normale, que l’on égalera à la pression donnée de l’atmosphère ; et, inversement à ce qui arrivait auprès d’une paroi fixe, la connaissance de cette pression suppléera à celle de la vitesse de déplace-

rainures parallèles, de 0^m,01 de largeur (suivant les $x$) dans les séries 12, 13, 14, et de 0^m,05 dans les séries 15, 16, 17. La résistance à l’écoulement atteignait, dans le second cas, le double environ de sa valeur dans le premier.
Une Note du —36 montrera, d’ailleurs, que la pénétration des filets fluides entre les intervalles des aspérités paraît croître aussi, à égalité de vitesse $\mathrm {V} ,$ quand la largeur et la profondeur du courant se réduisent au point de n’être plus comme infinies par rapport à la hauteur des rugosités de son lit ; et, par suite, le frottement devient alors plus grand.