Page:Joseph Boussinesq - Théorie de l'écoulement tourbillonnant et tumultueux des liquides dans les lits rectilignes à grande section, 1897.djvu/35

(19)

laire très large, d’une profondeur donnée $h,$ et d’un tuyau à section rectangulaire aussi très large, de hauteur double $2h\ ;$ d’autre part, les cas d’un tuyau circulaire, de rayon $\mathrm {R} ,$ et d’un canal demi-circulaire de largeur $2\mathrm {R}$ coulant à pleins bords.

» L’agitation créée à la paroi, ou plutôt son influence sur la valeur de $\varepsilon ,$ y sera donc proportionnelle à $u_{0}$ et au rayon moyen $h$ ou ${\tfrac {1}{2}}\mathrm {R} .$

» 23. Les inégalités de la paroi, qui provoquent les ballottements et engrènement dont il vient d’être parlé, y interviendront aussi. Mais leur effet sur la masse fluide intérieure considérée ici ne sera pas localisé à une couche mince, comme il arrivait pour l’influence des mêmes inégalités sur le frottement extérieur, et il se trouvera d’autant plus amorti relativement, qu’il sera plus grand et se fera sentir plus loin à l’intérieur. Donc le degré de rugosité entrera comme facteur, dans $\varepsilon ,$ avec un exposant notablement moindre que dans le coefficient $\mathrm {B}$ de la formule (14). Autrement dit, $\varepsilon$ devra être proportionnel à une puissance fractionnaire de $\mathrm {B} ,$ et l’hypothèse la plus simple que nous puissions faire à cet égard, est de le supposer en raison directe de ${\sqrt {\mathrm {B} }}.$

» À partir des parois, l’agitation se propage à l’intérieur des sections, sur des plans parallèles au fond ou aux deux bases dans les canaux et tuyaux larges de hauteur $h$ ou $2h,$ et sur des cylindres ou demi-cylindres conaxiques de rayons décroissants $r$ dans le tuyau circulaire ou le canal demi-circulaire. Il est naturel de supposer que son degré se conserve sensiblement de couche en couche dans les deux premiers cas, où elle ne se concentre suivant le rapport ${\tfrac {\mathrm {R} }{r}}$ inverse de celui de leurs aires. Enfin, l’on peut admettre à une première approximation que, dans un canal découvert, l’agitation partie du fond ou des bords se réfléchit, en arrivant à la surface libre, de manière à produire, au-dessous de celle-ci, sensiblement les mêmes effets qu’y produirait l’agitation partie de la moitié supérieure des parois, dans un tuyau plein, de même rayon moyen, dont la section comprendrait, outre la proposée $\tau ,$ sa symétrique par rapport au plan de la surface libre donnée.

» Si donc nous appelons ${\tfrac {\rho g}{k}}$ un coefficient indépendant du degré de rugosité des parois, mais pouvant varier avec la nature du fluide, et où, pour