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alors, comme il a été indiqué ci-dessus, un tuyau de section double où le contour mouillé, double également, se composerait du proposé et de son symétrique par rapport à la surface libre. Pour donner à ces cas toute la généralité possible, supposons même le degré de rugosité ou, par suite, le coefficient $\mathrm {B}$ du frottement extérieur, variables avec la génératrice considérée de la paroi, c’est-à-dire en fonction arbitraire de ${\tfrac {\chi y}{\sigma }}$ et ${\tfrac {\chi z}{\sigma }}.$

» Ici, la vitesse à la paroi, encore réductible à sa composante $u,$ ne sera plus constante le long du contour mouillé $\chi \ ;$ mais nous pourrons admettre avec quelque approximation qu’elle y varie d’une certaine manière ou, autrement dit, en appelant $u_{0}$ sa valeur en un endroit déterminé, par exemple au point le plus bas de $\sigma ,$ qu’elle est partout ailleurs le produit de $u_{0}$ par une fonction toujours la même de ${\tfrac {\chi y}{\sigma }},$ ${\tfrac {\chi z}{\sigma }}.$ L’ampleur ${\tfrac {d\sigma }{d\chi }}$ au devant de chaque élément $d\chi$ du contour, entre les deux normales menées à ses extrémités et prolongées jusqu’à la rencontre de la surface libre ou du plus grand diamètre (dans une section elliptique), n’égalera plus ${\tfrac {\sigma }{\chi }},$ mais bien le produit de ${\tfrac {\sigma }{\chi }}$ par une autre fonction de ${\tfrac {\chi y}{\sigma }},$ ${\tfrac {\chi z}{\sigma }}.$ Il semble, au reste, difficile, en l’étal actuel de nos connaissances, et sauf dans les sections rectangulaire large et circulaire ou demi-circulaire, de définir cette ampleur aux divers points du contour mouillé $\chi ,$ vu l’incertitude portant sur les limites de l’aire qui doit constituer son numérateur $d\sigma$. Le rayon moyen ${\tfrac {\sigma }{\chi }}$ sera cependant comme sa valeur moyenne, puisqu’il exprimera le volume fluide existant, dans le courant, par unité de surface des parois, ou l’aire de section normale par unité de longueur du contour mouillé.

» Les trois facteurs distincts $u,$ ${\tfrac {d\sigma }{d\chi }},$ ${\tfrac {\rho g}{k}}{\sqrt {\mathrm {B} }},$ caractérisant l’agitation engendrée près du $d\chi ,$ auront donc pour produit l’expression ${\tfrac {\rho g}{k}}{\sqrt {\mathrm {B} _{0}}}{\tfrac {\sigma }{\chi }}u_{0},$ multipliée encore par une fonction analogue. Et comme enfin l’agitation, à partir des parois, se transmettra dans la masse en se concentrant ou se disséminant suivant les mêmes proportions aux points homologues des surfaces-limites, il est naturel qu’on puisse exprimer le rapport de sa valeur en chaque point $(y,z)$ de $\sigma$ à ce qu’elle est au point du fond où $\mathrm {B}$ et $u$ sont $\mathrm {B} _{0}$ et $u_{0},$ par une certaine fonction positive de la forme $\mathrm {F} \left({\tfrac {\chi y}{\sigma }},{\tfrac {\chi z}{\sigma }}\right),$ la même pour toutes les sections dont il s’agit. Il viendra donc, comme généralisation des formules (15) et (16),

(17)

$\varepsilon ={\frac {\rho g}{k}}{\sqrt {\mathrm {B} _{0}}}{\frac {\sigma }{\chi }}u_{0}\mathrm {F} \left({\tfrac {\chi y}{\sigma }},{\tfrac {\chi z}{\sigma }}\right).$