Page:Joseph Boussinesq - Théorie de l'écoulement tourbillonnant et tumultueux des liquides dans les lits rectilignes à grande section, 1897.djvu/38

» Nous aurons plus loin à considérer le produit des deux fonctions, censées connues, ${\tfrac {\mathrm {B} }{\mathrm {B} _{0}}},$ $\left({\tfrac {u}{u_{0}}}\right)^{2},$ prises aux divers points du contour mouillé $\chi .$ En appelant $f$ ce produit positif, qui se réduit à l’unité dans les cas des formules (15) et (16), nous poserons ainsi

(18)

(sur le contour mouillé $\chi$) ${\frac {\mathrm {B} }{\mathrm {B} _{0}}}\left({\frac {u}{u_{0}}}\right)^{2}=f\left({\frac {\chi y}{\sigma }},{\frac {\chi z}{\sigma }}\right).$

§ vii. — Équations d’un tel régime indispensables pour traiter le cas particulier du régime uniforme.

» 26. Portons l’expression (17) du coefficient de frottement intérieur dans les formules (12) des forces $\mathrm {N} ,$ $\mathrm {T}$ où les $\mathrm {D} ,$ $\mathrm {G}$ ont d’ailleurs les valeurs (2). La petitesse du coefficient $\varepsilon$ rendra négligeables les termes où il multipliera des dérivées de $u,v,w,$ autre que celles de $u$ en $y,z,$ les seules de grandeur notable. Il viendra donc

(19)

$\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {N} _{x}=\mathrm {N} _{y}=\mathrm {N} _{z}=-p,\quad \mathrm {T} _{x}=0,\quad \mathrm {T} _{y}=\varepsilon {\frac {du}{dz}},\quad \mathrm {T} _{z}=\varepsilon {\frac {du}{dy}},\\&{\text{avec}}\quad \varepsilon ={\frac {\rho g}{k}}{\sqrt {\mathrm {B} _{0}}}{\frac {\rho }{\chi }}u_{0}\mathrm {F} \left({\frac {\chi y}{\sigma }},{\frac {\chi z}{\sigma }}\right).\end{aligned}}\right.$

» On en déduit d’abord aisément, à raison de la petitesse des angles faits par les normales à la surface-limite avec les plans des $yz$ ou des sections $\sigma ,$ que la pression exercée sur la masse fluide par un élément quelconque de sa couche superficielle ne comprend de sensible, à part une partie principale valant $-p$ et perpendiculaire à la surface, qu’un frottement, dirigé à très peu près suivant les $x$ négatifs, et exprimé par $-\varepsilon {\tfrac {du}{dn}},$ où ${\tfrac {du}{dn}}$ est la dérivée de $u$ suivant une petite normale $dn$ tirée, dans le plan de la section $\sigma ,$ sur son contour, à partir du point intérieur voisin que l’on considère. Si $\beta$ désigne l’angle de cette normale, menée ainsi vers le dehors, avec les $\gamma$ positifs, on a

(20)

${\frac {du}{dn}}={\frac {du}{dy}}\cos \beta +{\frac {du}{dz}}\sin \beta .$

» Près d’une surface libre, le frottement étant nul, la fonction $u$ vérifiera donc la condition ${\tfrac {du}{dn}}=0$ et $p$ égalera la pression constante donnée