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» Si l’on voulait plus de précision, il faudrait regarder le rapport en question comme inconnu, et donner au second membre de (26) la forme $-k{\sqrt {\mathrm {B} _{0}}}f\left(\eta ,\zeta \right)\left({\tfrac {u}{u_{0}}}\right)^{2},$ $f\left(\eta ,\zeta \right)$ désignerait ${\tfrac {\mathrm {B} }{\mathrm {B} _{0}}}.$ Mais alors cette condition au contour ne serait plus linéaire, et le problème, même en attribuant à $\mathrm {F} \left(\eta ,\zeta \right)$ les expressions les plus simples, comme 1, par exemple, deviendrait inabordable, sauf par des procédés d’approximation ou d’interpolation, dans lesquels on ne s’astreindrait qu’à peu près à vérifier la condition au contour^[1]. Et il y aurait même encore, comme ci-dessus, à faire varier la fonction $\mathrm {F} \left(\eta ,\zeta \right),$ sur laquelle se répercutent les changements survenus dans le rapport des vitesses aux divers points de la paroi, non moins que ceux du rapport des rugosités.

§ IX. — Du régime uniforme, quand la largeur et la profondeur sont insuffisantes pour que l’agitation masque entièrement l’effet des frottements réguliers.

» 35. Nous avons admis jusqu’ici, dans le fluide, une ampleur et une agitation tourbillonnaire suffisantes pour que la partie tant du frottement extérieur que du coefficient $\varepsilon$ des frottements intérieurs, due à cette agitation, excède dans une forte proportion celle qui subsisterait seule avec des mouvements bien continus, où les vitesses moyennes locales sciaient du même ordre. C’est un cas extrême ou limite, relativement simple, opposé au cas plus simple encore de mouvements bien continus, accessible théoriquement depuis Navier et expérimentalement résolu par Poiseuille. Il y a lieu de supposer que, dans le cas intermédiaire, moins abordable, mais très usuel, de rayons moyens ou de vitesses moyennes assez faibles pour que l’agitation masque en majeure partie les effets du frottement régulier sans les annihiler, les lois de l’écoulement s’écartent un peu des précédentes, dans le sens indiqué par celles de Poiseuille.

» C’est surtout la vitesse moyenne $\mathrm {U} ,$ dont se déduit le débit, qui offre

d’égale vitesse dont l’équation est, suivant les cas, $u=0,8\mathrm {U}$ ou $u=0,7\mathrm {U}$ soit de près le contour mouillé, d’un bout à l’autre, du moins quand le degré de rugosité n’est pas énorme.

1. Voir, au sujet de ces procédés qui peuvent être parfois utiles, le — 430 de mon Cours d’Analyse infinitésimale pour la Mécanique et la Physique (Calcul intégral, Complément, p. 419).