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Enfin, si l’on appelle $\mathrm {K}$ la valeur moyenne du second membre dans toute l’étendue de $\sigma ,$ il vient, pour relier la vitesse moyenne $\mathrm {U}$ à la vitesse maxima $u_{m},$ la formule de M. Bazin,

(35)

${\frac {u_{m}-\mathrm {U} }{\mathrm {U} {\sqrt {b}}}},$ ou $u_{m}-\mathrm {U} =\mathrm {K} {\sqrt {b\mathrm {U} ^{2}}}=\mathrm {K} {\sqrt {{\frac {\sigma }{\chi }}\mathrm {I} }}.$

» Nous verrons que $\mathrm {K}$ a des valeurs notablement différentes dans les deux cas simples d’une section rectangulaire large et d’une section circulaire ou demi-circulaire ; il est donc beaucoup plus variable que $b$ avec la forme de la section, comme l’a, du reste, indiqué l’expérience.

» 34. La formule (29) montre que les inégalités relatives de vitesse aux divers points varient, avec le degré absolu de rugosité, proportionnellement à ${\sqrt {\mathrm {B} _{0}}}.$ Donc, en toute rigueur, nous n’aurions pas dû admettre la forme simple $f\left(\eta ,\zeta \right)$ pour l’expression ${\tfrac {\mathrm {B} }{\mathrm {B} _{0}}}\left({\tfrac {u}{u_{0}}}\right)^{2}$ le long du contour mouillé $\chi ,$ à moins de faire varier, sur chaque génératrice de la paroi, ${\tfrac {\mathrm {B} }{\mathrm {B} _{0}}}$ en raison inverse des valeurs qu’y prend $\left({\tfrac {u}{u_{0}}}\right)^{2}$ quand $\mathrm {B} _{0}$ change. Or alors une nouvelle difficulté proviendrait de ce que, les degrés relatifs de rugosité aux divers points ne restant plus les mêmes, l’agitation dans l’intérieur se distribuerait autrement et la fonction $\mathrm {F} \left(\eta ,\zeta \right)$ changerait. Mais, pour des formes très diverses de la section, le rapport ${\tfrac {u}{u_{0}}}$ varie bien moins avec $\eta ,$ $\zeta$ et par suite, d’après (29), avec ${\sqrt {\mathrm {B} _{0}}},$ le long du contour mouillé $\chi ,$ que dans l’intérieur, puisque même il s’y réduit à 1 dans les cas élémentaires de tuyaux ou canaux rectangulaires larges et circulaires ou demi-circulaires, à parois homogènes. On peut donc, pour toutes les formes dont il s’agit, supposer ce rapport à très peu près indépendant $\mathrm {B} _{0},$ sur le contour mouillé $\chi ,$ entre de bien plus larges limites de variation de ${\sqrt {\mathrm {B} _{0}}}$ qu’on ne le pourrait dans l’intérieur ; et cela suffit pour justifier en pratique les formules précédentes^[1].

1. D’après les distributions de vitesses, et la forme des courbes d’égale vitesse près de la paroi, observées par M. Bazin dans des tuyaux et canaux à sections rectangulaires (peu larges), trapézoïdales, triangulaires, etc. (Atlas des Recherches hydrauliques, Planches XVIII, XXI et XXIII), le rapport ${\tfrac {u}{u_{0}}}$ le long du contour mouillé $\chi$ ne s’éloigne pas beaucoup de l’unité, même pour des formes très différentes de celles d’un cercle, d’un demi-cercle ou d’un rectangle de largeur indéfinie ; car la courbe