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§ X. — Retour au cas des grandes sections : lois spéciales aux sections rectangulaires larges et circulaires ou demi-circulaires.

» 37. Passons maintenant aux cas particulièrement intéressants où la vitesse à la paroi peut être supposée constante.

binôme $1+\beta {\tfrac {\chi }{\sigma }},$ augmentation inverse du rayon moyen et fortement croissante avec le degré de rugosité. L’introduction de ce facteur binôme s’explique donc autrement et mieux que par une tendance lointaine, dès lors vague, de l’écoulement vers les lois de Poiseuille. On observe vraiment une tendance vers ces lois, bien accusée, c’est-à-dire une diminution assez notable de l’agitation pour amener un régime intermédiaire entre celui des grandes sections et celui des petits tubes, quand, dans l’hypothèse de parois polies ou modérément rugueuses, on a des rayons moyens de quelques centimètres seulement et des vitesses allant environ de 0^m, 1 à 1^m. Mais alors le produit $\mathrm {I} {\tfrac {\sigma }{\chi }}{\tfrac {1}{\mathrm {U} ^{2}}}$ garde à peu près, comme dans les deux régimes extrêmes considérés, la forme $\gamma \left({\tfrac {\chi }{\sigma }}{\tfrac {1}{\mathrm {U} }}\right)^{m},$ avec un coefficient constant $\gamma$ et un exposant $m$ égal à ${\tfrac {1}{2}},$ c’est-à-dire justement moyen entre les deux valeurs 0 et 1 qui correspondent à ces deux régimes. Les variables ${\tfrac {1}{\mathrm {U} }},$ ${\tfrac {\chi }{\sigma }},$ au lieu de s’y séparer comme dans la formule (36), continuent donc à n’y figurer que par leur produit, ou à peu près. Et l’on a

$\mathrm {I} {\frac {\sigma }{\chi }}{\frac {1}{\mathrm {U} ^{2}}}=\gamma {\sqrt {{\frac {\chi }{\sigma }}{\frac {1}{\mathrm {U} }}}},$ ou $\mathrm {I} \left({\frac {\sigma }{\chi }}{\frac {1}{\mathrm {U} }}\right)^{\frac {3}{2}}=\gamma ,\quad \mathrm {U} =\gamma ^{-{\frac {2}{3}}}{\frac {\sigma }{\chi }}\mathrm {I} ^{\frac {2}{3}}.$

La vitesse moyenne est proportionnelle au rayon moyen et à la puissance ${\tfrac {2}{3}}$ de la pente motrice. Ce cas intermédiaire s’est présenté, dans les Recherches hydrauliques de M. Bazin, pour les quatre séries d’expériences 28, 29, 30, 31 (p.  103 à 106), faites sur un petit canal rectangulaire de O^m, 1 de largeur, poli dans les deux premières séries, rendu rugueux par un revêtement en forte toile dans les deux dernières. Le coefficient $\gamma$ y était très sensiblement 0,00004 dans le premier cas (où les expériences ont donnée en moyenne $\mathrm {I} {\tfrac {\sigma }{\chi }}{\tfrac {1}{\mathrm {U} }}=0,000193$ pour $\mathrm {I} =0,0047,$ $\mathrm {I} {\tfrac {\sigma }{\chi }}{\tfrac {1}{\mathrm {U} }}=0,000290$ pour $\mathrm {I} =0,0152$), et environ, mais d’une manière moins précise, 0,000115 dans le second cas (où elles ont donné $\mathrm {I} {\tfrac {\sigma }{\chi }}{\tfrac {1}{\mathrm {U} }}=0,000421$ pour $\mathrm {I} =0,0081,$ et $\mathrm {I} {\tfrac {\sigma }{\chi }}{\tfrac {1}{\mathrm {U} }}=0,000656$ pour $\mathrm {I} =0,0152$). Le quotient $\gamma ^{\frac {2}{3}}$ de l’expression $\mathrm {I} {\tfrac {\sigma }{\chi }}{\tfrac {1}{\mathrm {U} }},$ que considère M. Bazin, par $\mathrm {I} ^{\frac {1}{3}},$ était donc 0,00117 dans le canal poli et environ 0,00236, ou le double, dans le canal rugueux.