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» Le plus simple est celui d’une section rectangulaire large, suivant la profondeur $2h$ ou $h$ de laquelle nous dirigerons vers le bas l’axe des $z,$ à partir du centre s’il s’agit d’un tuyau de hauteur intérieure $2h,$ et à partir de la surface libre s’il s’agit d’un canal découvert de profondeur $h.$ Le premier as, vu la symétrie des vitesses de part et d’autre du diamètre ou de la médiane parallèle aux $y,$ se ramène au second, plus pratique, où $z$ ne varie que de zéro à $h,$ et où la dérivée de $u$ en $z$ s’annule aussi pour $z=0,$ en vertu de la condition spéciale à la surface libre. Bornons-nous donc à ce cas.

» La largeur est supposée assez grande pour que $\mathrm {F} _{1}$ ne dépende pas, dans (30), de la première variable $\eta \ ;$ et l’autre variable, $\zeta ,$ y représente le rapport de $z$ au rayon moyen $h,$ c’est-à-dire la distance des divers points à la surface libre en prenant pour unité la profondeur totale. D’ailleurs, la première formule (15) de $\varepsilon$ donne $\mathrm {F} =1$ dans le système (30), où l’on a déjà $f=1,$ $\mathrm {B} _{0}=\mathrm {B}$ et enfin, pour $\zeta =1,$ $d\nu =d\zeta ,$ $\mathrm {F} _{1}=0.$ Il vient donc immédiatement $\mathrm {F} _{1}={\tfrac {1}{2}}\left(1-\zeta ^{2}\right),$ ${\mathfrak {m}}\mathrm {F} _{1}={\tfrac {1}{2}}\left(1-{\tfrac {1}{3}}\right)={\tfrac {1}{3}}\ ;$ et les formules (32), (34), (35) sont

(37)

${\frac {1}{\sqrt {b}}}={\frac {1}{\sqrt {\mathrm {B} }}}+{\frac {k}{3}},\ {\frac {u_{m}-u}{\mathrm {U} {\sqrt {b}}}}={\frac {k}{2}}\zeta ^{2}={\frac {k}{2}}{\frac {z^{2}}{h^{2}}},\ {\frac {u_{m}}{\mathrm {U} }}=1+{\frac {k}{6}}{\sqrt {b}}.$

» L’avant-dernière est précisément celle que M. Bazin a obtenue par l’observation des vitesses à diverses profondeurs, sur une verticale équidistante des deux bords, dans un grand nombre de canaux dont la largeur, il est vrai, contenant seulement de 5 à 8 fois la profondeur, était insuffisante pour qu’on pût négliger l’action retardatrice du frottement des bords sur la vitesse maxima $u_{m}$ au milieu de la surface. Le coefficient, 20 environ, qui y affectait $\zeta ^{2},$ est donc moindre que ${\tfrac {1}{2}}k\ ;$ de sorte que le nombre $k$ de nos formules doit excéder assez sensiblement 40.

» 38. Supposons actuellement qu’il s’agisse d’un tuyau circulaire ou, ce qu’on sait revenir au même, d’un canal demi-circulaire coulant à pleins bords, avec $\mathrm {B} =\mathrm {B} _{0},$ c’est-à-dire avec homogénéité des parois dans les deux cas. Appelons $\tau$ le rapport, au rayon $\mathrm {R} ,$ de la distance $r$ à l’axe, ou de ${\sqrt {y^{2}+z^{2}}}\ :$ autrement dit, posons

(38)

$\tau ={\frac {1}{2}}{\sqrt {\eta ^{2}+\zeta ^{2}}}\ ;$ d’où ${\frac {d\tau }{d\eta }}={\frac {\eta }{4\tau }},\quad {\frac {d\tau }{d\zeta }}{\zeta }{4\tau }.$

» Les fonctions $\mathrm {F} ,$ $\mathrm {F} _{1}$ dépendront uniquement de $\tau \ ;$ et la première