Page:Joseph Boussinesq - Théorie de l'écoulement tourbillonnant et tumultueux des liquides dans les lits rectilignes à grande section, 1897.djvu/50

d’entre elles, $\mathrm {F} ,$ sera, d’après (16), l’inverse de $\tau +\psi (\tau ).$ D’ailleurs, $f$ se réduisant à l’unité, tandis que $d\nu ,$ ou $\textstyle d{\sqrt {\eta ^{2}+\zeta ^{2}}}$ (à la limite $\tau =1$), ne sera autre chose que $2d\tau ,$ le système (30) deviendra aisément

(39)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {1}{4\tau }}{\frac {d}{d\tau }}\left[{\frac {\tau }{\tau +\psi (\tau )}}{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{d\tau }}\right]+1=0,\\{\frac {1}{1+\psi (1)}}{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{d\tau }}=-2\ ({\text{pour }}\tau =1),\ \mathrm {F} _{1}=0\ ({\text{pour }}\tau =1).\end{aligned}}\right.$

» La première, multipliée par $4\tau d\tau ,$ s’intègre immédiatement, à une constante arbitraire près que détermine la seconde. Après quoi, une nouvelle intégration donne, vu la troisième relation (39),

(40)

$\mathrm {F} _{1}={\frac {2}{3}}\left(1+\tau ^{3}\right)+2\int _{\tau }^{1}\psi (\tau )\tau d\tau$ ou $\mathrm {F} _{1}={\frac {2}{3}}\left(1+\tau ^{3}\right)+\Psi (1)-\Psi (\tau ),$

en posant, pour abréger,

(41)

$\Psi (\tau )=2\int _{\tau }^{1}\psi (\tau )\tau d\tau .$

» Telle est la valeur qu’il faudra substituer à $\mathrm {F} _{1}(\eta ,\zeta )$ dans les relations (32) à (35), et dont la moyenne ${\mathfrak {m}}\mathrm {F} _{1}$ s’obtiendra, comme celle de toute autre fonction de $\tau$ aux divers points d’un cercle $\textstyle \int \pi d\tau ^{2}$ de rayon $\tau =1,$ en multipliant par $d\tau ^{2}=2\tau d\tau$ et intégrant de zéro à 1. Si l’on observe que la vitesse maxima $u_{m}$ se produit, par raison de symétrie, sur l’axe $\tau =0,$ les formules (32), (34), (35) deviendront

(42)

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {1}{\sqrt {b}}}={\frac {1}{\sqrt {\mathrm {B} }}}+k\left[{\frac {2}{5}}+\Psi (1)-2\int _{0}^{1}\Psi (\tau )\tau d\tau \right],\\&{\frac {u_{m}-u}{\mathrm {U} {\sqrt {b}}}}=k\left[{\frac {2}{3}}\tau ^{3}+\Psi (\tau )\right],\ {\frac {u_{m}}{\mathrm {U} }}=1+k\left[{\frac {4}{15}}+2\int _{0}^{1}\Psi (\tau )\tau d\tau \right]{\sqrt {b}}.\end{aligned}}\right.$

§ xi. — Confrontations expérimentales et réflexions diverses.

» 39. Mais bornons-nous d’abord à l’approximation, presque satisfaisante déjà, où l’expression de $\varepsilon$ est la seconde (15) ; ce qui revient à prendre $\psi (r)=0,$ $\Psi (r)=0.$ Alors ces formules (42), où nous diviserons toutefois la deuxième par ${\sqrt {2}},$ se réduisent à

(43)

${\frac {1}{\sqrt {b}}}={\frac {1}{\sqrt {B}}}+{\frac {2k}{5}},\ {\frac {u_{m}-u}{\mathrm {U} {\sqrt {2b}}}}={\frac {\sqrt {2}}{3}}k{\frac {r^{3}}{\mathrm {R} ^{3}}},\ {\frac {u_{m}}{\mathrm {U} }}=1+{\frac {4k}{15}}{\sqrt {b}}.$