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plus ou moins larges en planches^[1], que, du moins pour des rayons moyens n’excédant pas 0^m,25, $b$ décroît légèrement quand la largeur grandit ; et qu’il se rapproche ainsi de sa valeur dans le cercle, de manière à diminuer alors l’écart entre les inverses de leurs racines carrées. Donc cet écart doit, à la limite, être un peu au-dessous de 5,64, d’une fraction assez sensible, pourtant, de sa valeur^[2], et approcher environ de 5. Les nouvelles expériences de M. Bazin nous permettront de reconnaître qu’il en est bien ainsi^[3].

↑ Mêmes Recherches expérimentales, etc., p. 97 (séries 18, 19, 20).
↑ Car une augmentation relative d’un centième et demi seulement, sur l’inverse de $\textstyle {\sqrt {b}}$ dans le rectangle, réduit l’écart d’une unité.
↑ Grande variabilité relative du coefficient $b$ avec la forme de la section, dans les écoulements bien continus, et exemples divers de sections où ce coefficient y est plus petit que dans le cercle.
  Il semble qu’on aurait dû, contrairement à ce qu’a montré l’expérience, trouver pour $b$ dans les sections rectangulaires peu larges des valeurs moindres que dans une section rectangulaire infiniment large, afin que ces valeurs moindres fussent comprises entre celles qui concernent le rectangle infiniment large et le cercle ou le demi-cercle ; car toutes les sections usuelles de dimensions (longueur et largeur) comparables, paraissent être en quelque manière, pour la forme, intermédiaires entre ces dernières. Cependant un fait contraire à la même prévision se produit, mais en sens inverse, dans le cas d’écoulements bien continus (régis par les lois de Poiseuille), la valeur de $b$ pouvant, quand un section rectangulaire se rétrécit, y décroître au-dessous même de ce qu’elle est dans le cercle.
  Alors, en effet, l’intégration est effectuable, comme l’on a dit plus haut (à la note de la page 28), quand la section est soit elliptique, soit rectangulaire, donc, en particulier, quand elle est ou circulaire, ou carrée, ou rectangulaire infiniment large ; et aussi dans une infinité d’autres cas, notamment pour un tube à section triangulaire équilatérale. On peut voir, à ce sujet, la fin (p. 48) du Mémoire cité Sur l’influence des frottements dans les mouvements réguliers des fluides, mémoire où sont d’ailleurs évalués, aux §§ V et VI (p. 12 et 18), les débits pour les sections elliptiques et rectangulaires ; et l’on peut consulter aussi la XLV^e de mes Leçons d’Analyse infinitésimale pour la Mécanique et la Physique, aux Compléments de Calcul intégral (p. 402 à 426).
  Or si, dans les formules trouvées grâce à ces intégrations pour la vitesse moyenne $\mathrm {U} ,$ et où figure le plus naturellement l’aire $\sigma$ comme variable exprimant l’influence de la grandeur des sections, l’on introduit au lieu de cette aire le rayon moyen ${\tfrac {\sigma }{\chi }},$ en fonction duquel s’évaluent plus ou moins aisément $\sigma$ et le contour mouillé $\chi ,$ l’expression

[1] Mêmes Recherches expérimentales, etc., p. 97 (séries 18, 19, 20).

[2] Car une augmentation relative d’un centième et demi seulement, sur l’inverse de $\textstyle {\sqrt {b}}$ dans le rectangle, réduit l’écart d’une unité.

[p53-3] Grande variabilité relative du coefficient $b$ avec la forme de la section, dans les écoulements bien continus, et exemples divers de sections où ce coefficient y est plus petit que dans le cercle.
Il semble qu’on aurait dû, contrairement à ce qu’a montré l’expérience, trouver pour $b$ dans les sections rectangulaires peu larges des valeurs moindres que dans une section rectangulaire infiniment large, afin que ces valeurs moindres fussent comprises entre celles qui concernent le rectangle infiniment large et le cercle ou le demi-cercle ; car toutes les sections usuelles de dimensions (longueur et largeur) comparables, paraissent être en quelque manière, pour la forme, intermédiaires entre ces dernières. Cependant un fait contraire à la même prévision se produit, mais en sens inverse, dans le cas d’écoulements bien continus (régis par les lois de Poiseuille), la valeur de $b$ pouvant, quand un section rectangulaire se rétrécit, y décroître au-dessous même de ce qu’elle est dans le cercle.
Alors, en effet, l’intégration est effectuable, comme l’on a dit plus haut (à la note de la page 28), quand la section est soit elliptique, soit rectangulaire, donc, en particulier, quand elle est ou circulaire, ou carrée, ou rectangulaire infiniment large ; et aussi dans une infinité d’autres cas, notamment pour un tube à section triangulaire équilatérale. On peut voir, à ce sujet, la fin (p. 48) du Mémoire cité Sur l’influence des frottements dans les mouvements réguliers des fluides, mémoire où sont d’ailleurs évalués, aux §§ V et VI (p. 12 et 18), les débits pour les sections elliptiques et rectangulaires ; et l’on peut consulter aussi la XLV^e de mes Leçons d’Analyse infinitésimale pour la Mécanique et la Physique, aux Compléments de Calcul intégral (p. 402 à 426).
Or si, dans les formules trouvées grâce à ces intégrations pour la vitesse moyenne $\mathrm {U} ,$ et où figure le plus naturellement l’aire $\sigma$ comme variable exprimant l’influence de la grandeur des sections, l’on introduit au lieu de cette aire le rayon moyen ${\tfrac {\sigma }{\chi }},$ en fonction duquel s’évaluent plus ou moins aisément $\sigma$ et le contour mouillé $\chi ,$ l’expression

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