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où l’on pourra mettre à la place de $i$ une valeur quelconque plus grande dans le dénominateur $(x+i)^{\mu }.$

Soit, en quatrième lieu,

$f(x+i)=\sin(x+i)\,;$

on aura

$f(x)=\sin x,\quad f'(x)=\cos x,\quad f''(x)=-\sin x,\quad \ldots \,;$

donc, en général,

$f^{\mu }(x+i)=\pm \sin(x+i)\quad {\text{ou}}\quad =\pm \cos(x+i),$

suivant que $\mu$ sera de l’une de ces formes, $4n,4n+2,4n+1,4n+3,$ $n$ étant un nombre entier quelconque ; ce qu’on peut renfermer dans cette expression générale

$f^{\mu }(x+i)=\sin(x+i+\mu \mathrm {D} ),$

$\mathrm {D}$ étant l’angle droit.

Or, quelles que soient les valeurs de $x$ et $i,$ il est visible que la plus grande et la plus petite valeur de $f^{\mu }(x+i)$ seront $1$ et $-1\,;$ ainsi on aura, pour le développement de $\sin(x+i),$ ces limites

$\sin x+i\cos x-{\frac {i^{2}}{2}}\sin x-{\frac {i^{3}}{3}}\cos x+\ldots \pm {\frac {i^{\mu }}{2.3\ldots \mu }}.$

Si l’on fait $x=0,$ on aura

$i-{\frac {i^{3}}{2.3}}+{\frac {i^{5}}{2.3.4.5}}-\ldots \pm {\frac {i^{\mu }}{2.3\ldots \mu }},$

et, si l’on fait $x=\mathrm {D} ,$ on aura

$1-{\frac {i^{2}}{2}}+{\frac {i^{4}}{2.3.4}}-\ldots \pm {\frac {i^{\mu }}{2.3\ldots \mu }},$

pour les limites de $\sin i$ et $\cos i,$ où il faudra prendre pour $\mu$ le nombre immédiatement plus grand d’une unité que l’exposant de $i,$ dans le terme auquel on voudra s’arrêter.