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Nous avons donné, à la fin de la Leçon VII, la série du développement de $f(y+i),$ en supposant $y=\operatorname {tang} x$ et $f(y)=x,$ et nous avons trouvé en général

$f^{\mu }(y)=\pm 2.3\ldots (\mu -1)\cos ^{\mu }x\times \sin \ \ {\text{ou}}\ \ \cos \mu x.$

Donc, on aura aussi

$f^{\mu }(y+i)=\pm 2.3\ldots (\mu -1)\cos ^{\mu }z\times \sin \ \ {\text{ou}}\ \ \cos ^{\mu }z,$

en faisant $y+i=\operatorname {tang} z,$ c’est-à-dire

$\operatorname {tang} z=\operatorname {tang} x+i.$

Or, quels que soient $y$ et $i,$ il est visible que la plus petite et la plus grande valeur de $\cos ^{\mu }z\times \sin$ ou $\cos \mu z$ seront $-1$ et $1\,;$ d’où l’on peut d’abord conclure que la série est vraie pour des valeurs quelconques de $x$ et $i,$ et que, si l’on veut arrêter la série au terme \muième, le reste de la série sera nécessairement renfermé entre les limites $\pm {\frac {i^{\mu }}{\mu }}.$

Ainsi, en faisant $x=0,$ on aura ces limites

$\operatorname {arc\,tang} i=i-{\frac {i^{3}}{3}}+{\frac {i^{5}}{5}}-\ldots \pm {\frac {i^{\mu +1}}{\mu +1}},$

où $\mu$ est l’exposant du terme auquel on veut s’arrêter.

Nous finirons par remarquer que les mêmes formules peuvent servir à développer une fonction quelconque, suivant les puissances de sa variable ; car en faisant $x=0,$ $f(x+i)$ devient simplement $f(i)$ et peut représenter une fonction quelconque d’une variable $i.$

Or il est visible que les valeurs de $f(x),f'(x),f''(x),\ldots ,$ lorsque $x=0,$ doivent coïncider avec celles de $f(i),f'(i),f''(i),\ldots ,$ lorsque $i=0.$

Donc, si l’on dénote simplement par $f,f',f'',\ldots$ les valeurs de $f(i),f'(i),f''(i),\ldots ,$ lorsque $i=0,$ on aura en général

$f(i)=f+if'+{\frac {i^{2}}{2}}f''+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''+\ldots \,;$