et si l’on veut s’arrêter au terme alors, comme le terme suivant serait
il n’y aura qu’à substituer à la place de la plus grande et la plus petite valeur de ou des valeurs plus grandes ou plus petites que celles-ci, et l’on aura les limites du reste du développement.
Ainsi le développement sera exact tant que ces limites auront des valeurs finies. Si l’une d’elles devenait infinie, le reste de la série pourrait aussi devenir infini, et le développement deviendrait fautif. Il faudra donc alors, ou s’arrêter à un terme précédent, ou n’attribuer à que des valeurs telles, que ne devienne pas infinie depuis jusqu’à cette valeur.
Puisque ces limites répondent à la plus grande et à la plus petite valeur de en prenant depuis zéro jusqu’à la valeur donnée, il est clair que la valeur exacte du reste du développement de la fonction répondra à une valeur intermédiaire de qui pourra être représentée par en prenant pour une quantité entre zéro et Il suit de là qu’on pourra toujours représenter d’une manière finie le développement d’une fonction quelconque en y introduisant une quantité inconnue moindre que Ainsi on a ce théorème analytique, remarquable par sa simplicité,
où sont les valeurs de en y faisant l’exposant étant quelconque.
On a par là une démonstration rigoureuse de cette proposition qu’on s’était contenté de supposer jusqu’ici savoir que, dans le développement d’une fonction, on peut donner à la variable, suivant laquelle est ordonné le développement, une valeur assez petite pour qu’un terme quelconque de la série soit plus grand que la somme de tous ceux qui le suivent ; car il est clair qu’il suffit pour cela de faire voir qu’on peut
