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abscisse $i,$ qui commence où finit l’abscisse $x,$ que nous regarderons maintenant comme constante ; l’ordonnée correspondante sera

$f(x+i)=f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+\ldots .$

Arrêtons-nous aux premiers termes, et supposons l’équation

$z=f(x)+if'(x),$

entre l’abscisse $i$ et l’ordonnée $z\,;$ cette équation sera une ligne droite qui passe par le point de la courbe qui répond à l’abscisse $x,$ et qui est inclinée à l’axe d’un angle dont $f'(x)$ est la tangente.

Comme les deux termes de l’ordonnée de cette droite coïncident avec les deux premiers termes de celle de la courbe, il sera impossible qu’aucune autre droite passant par le même point de la courbe puisse passer aussi entre elle et la droite dont il s’agit ; celle-ci sera donc la tangente de la courbe au même point, de manière qu’en appelant $t$ la sous-tangente, on aura en général ${\frac {y}{t}}=f'(x),$ et de là $t={\frac {y}{f'(x)}}={\frac {y}{y'}}.$

Prenons maintenant les trois premiers termes du même développement, et considérons la courbe dont l’équation entre l’ordonnée $z$ et l’abscisse $i$ serait

$z=f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)\,;$

on aura une parabole dont l’axe est parallèle aux ordonnées, et dont le paramètre est ${\frac {2}{f''(x)}}.$

Cette parabole passera par le point de la courbe proposée qui répond à l’abscisse $x,$ et aura la même tangente qu’elle, parce que les deux premiers termes de son équation coïncident avec ceux de l’équation de la courbe ; et, comme les troisièmes termes coïncident aussi ; il s’ensuit qu’aucune autre parabole ne pourra passer entre celle-ci et la même courbe.: ce sera, par conséquent, la parabole qu’on nomme osculatrice, et qui aura ${\frac {2}{f''(x)}}$ ou ${\frac {2}{y''}}$ pour paramètre.