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Comme c’est ordinairement au cercle qu’on rapporte la courbure des courbes, pour avoir le rayon de courbure, on supposera que la courbe proposée est un cercle dont l’équation générale est, comme l’on sait,

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\,;$

ainsi on aura

$y=b+{\sqrt {r^{2}-(x-a)^{2}}}=f(x),$

d’où l’on déduit, en prenant les fonctions dérivées,

${\begin{aligned}y'\ =&-{\frac {x-a}{\sqrt {r^{2}-(x-a)^{2}}}}=f'(x),\\y''=&-{\frac {r^{2}}{\left[r^{2}-(x-a)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}=f''(x).\end{aligned}}$

Si l’on détermine, par ces trois équations, les valeurs de $a,b,r$ en $x,$ $f(x),f'(x),f''(x),$ on aura non seulement le rayon $r$ du cercle osculateur, mais aussi la position du centre de ce cercle par les deux coordonnées $a,b,$ qui seront en même temps celles de la développée ; car alors les trois premiers termes du développement de $y$ dans le cercle coïncideront avec les trois premiers termes du développement de $y$ dans la courbe proposée.

On aura aussi, pour une courbe quelconque,

${\begin{aligned}r=&-{\frac {\left(1+y'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{y''}},\\a=&x-{\frac {y'\left(1+y'^{2}\right)}{y''}},\\b=&y-{\frac {1+y'^{2}}{y''}}.\end{aligned}}$

On peut pousser plus loin cette théorie des osculations, comme nous l’avons fait dans les n^os 117 et suivants de la Théorie des Fonctions analytiques.

Si l’on considère l’espace décrit par un mobile comme fonction du temps employé à le parcourir, et qu’on nomme $x$ le temps et $y$ l’es-