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développement du binôme, et en général dans toutes les formules qui contiennent une indéterminée qui peut être un nombre quelconque rationnel ce n’est que par la considération des fonctions dérivées qu’on en peut prouver la généralité pour une valeur quelconque de la même quantité.

En prenant, dans la formule que nous venons de trouver, le radical ${\sqrt {-1}}$ en plus ou en moins, on a ces deux-ci

${\begin{aligned}\cos mx+\sin mx{\sqrt {-1}}=&\left(\cos x+\sin x{\sqrt {-1}}\right)^{m},\\\cos mx-\sin mx{\sqrt {-1}}=&\left(\cos x-\sin x{\sqrt {-1}}\right)^{m},\end{aligned}}$

d’où l’on tire aisément

${\begin{aligned}\cos mx=&{\frac {\left(\cos x+\sin x{\sqrt {-1}}\right)^{m}+\left(\cos x-\sin x{\sqrt {-1}}\right)^{m}}{2}},\\\sin mx=&{\frac {\left(\cos x+\sin x{\sqrt {-1}}\right)^{m}-\left(\cos x-\sin x{\sqrt {-1}}\right)^{m}}{2{\sqrt {-1}}}}.\end{aligned}}$

Si l’on développe les puissances $m$^ième par la formule du binôme, les imaginaires disparaissent, et l’on a ces expressions en série

${\begin{aligned}\cos mx=&\cos ^{m}x-{\frac {m(m-1)}{2}}\cos ^{m-2}x\sin ^{2}x\\&+{\frac {m(m-1)(m-2)(m-3)}{2.3.4}}\cos ^{m-4}x\sin ^{4}x-\ldots ,\\\\\sin mx=&m\cos ^{m-1}x\sin x-{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}\cos ^{m-3}x\sin ^{3}x+\ldots .\end{aligned}}$

Ces deux formules avaient été données dès 1701 par Jean Bernoulli, dans les Actes de Leipzig, mais sans démonstration, et on voit, par la Lettre 129 du Commercium epistolicum, et par le Traité cles Sections coniques de l’Hospital, qu’ils les avaient trouvées en cherchant successivement, par les théorèmes connus, les valeurs des sinus et cosinus des angles doubles, triples, etc., et en observant l’analogie des termes de ces valeurs avec ceux du développement du binôme. En effet, si l’on fait successivement $y=x,\ 2x,\ 3x,\ \ldots ,$ dans les