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et, comme cette équation doit avoir lieu pour les deux signes de ${\sqrt {-1}}$ il s’ensuit qu’on aura séparément

${\begin{aligned}\cos x\cos y-\sin x\sin y=&\cos(x+y),\\\cos x\sin y+\sin x\cos y=&\sin(x+y),\end{aligned}}$

formules qu’on démontre par la Géométrie, et qui sont le fondement de toute la théorie des angles.

La même équation, en élevant les deux membres à une puissance quelconque $m,$ donne

$\left(\cos x+\sin x{\sqrt {-1}}\right)^{m}=e^{mx{\sqrt {-1}}}.$

Donc aussi, en mettant dans l’équation primitive $mx$ à la place de $x$ et comparant, on a

$\left(\cos x+\sin x{\sqrt {-1}}\right)^{m}=\cos mx+\sin mx{\sqrt {-1}},$

formule remarquable autant par sa simplicité et son élégance que par sa généralité et sa fécondité.

Il paraît que Moivre est le premier qui ait trouvé cette belle formule on voit, par les Miscellanea analytica, qu’il y a été conduit par la considération des sections hyperboliques comparées aux sections circulaires. Maintenant elle est devenue une vérité élémentaire, qu’on démontre par le moyen des valeurs de $\sin(x+y)$ et $\cos(x+y)$ que donne la Géométrie, en considérant le produit des formules semblables

$\cos x+\sin x{\sqrt {-1}}\quad {\text{et}}\quad \cos y+\sin y{\sqrt {-1}},$

lequel se réduit à cette formule semblable

$\cos(x+y)+\sin(x+y){\sqrt {-1}}\,;$

et c’est à Euler qu’on doit d’avoir transporté ainsi dans les Éléments une formule d’une si grande utilité.

Il est vrai que de cette manière on ne peut la démontrer que pour des valeurs rationnelles de $m\,;$ mais il en est ici comme dans la formule du