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LEÇON ONZIÈME.

Suite de l’analyse des sections angulaires, ou l’on démontre les formules générales des tables données dans la leçon précédente.

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Reprenons les expressions générales de $\cos mx$ et $\sin mx$ données dans la Leçon précédente ; faisant

$\cos x=p,\quad \mathrm {et\ par\ cons{\acute {e}}quent} \quad \sin x={\sqrt {1-p^{2}}},$

on aura

${\begin{aligned}2\cos mx=&\left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}+\left(p-{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m},\\2\sin mx{\sqrt {-1}}=&\left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}-\left(p-{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}.\end{aligned}}$

Nous observerons d’abord que ces formules sont toujours vraies, quel que soit le nombre $m,$ parce qu’elles ont été déduites de l’équation générale

$\cos x\pm \sin x{\sqrt {-1}}=e^{\pm x{\sqrt {-1}}}$

élevée à la puissance $m.$ Ainsi les doutes qui pourraient rester à cet égard disparaissent ici entièrement.

Tout se réduit donc à développer, suivant les puissances de $p,$ l’expression

$\left(p\pm {\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}.$

Comme les quantités $p+{\sqrt {p^{2}-1}}$ et $p-{\sqrt {p^{2}-1}}$ sont les deux racines de l’équation

$z^{2}-2pz+1=0,$

je ferai usage du théorème que j’ai démontré dans la Note XI de la