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Résolution des équations numériques, sur la somme des puissances des racines des équations.

Suivant ce théorème, si l’on a une équation quelconque de la forme

$u-x+f(x)=0,$

où $x$ est l’inconnue, la formule

$u^{-m}+\left(u^{-m}\right)'f(u)+\left({\frac {\left(u^{-m}\right)'f^{2}(u)}{2}}\right)'+\left({\frac {\left(u^{-m}\right)'f^{3}(u)}{2.3}}\right)''+\ldots ,$

n’étant continuée que tant qu’il y aura des puissances négatives de $u,$ donne la somme de toutes les racines élevées chacune à la puissance $-m\,;$ mais, étant continuée à l’infini, elle ne donne que la même puissance de la plus petite des racines. Les quantités $f^{2}(u),\ f^{3}(u),\ \ldots$ sont le carré, le cube, etc. de $f(u)\,;$ et les traits appliqués aux parenthèses désignent les fonctions dérivées des fonctions de $u$ renfermées entre ces parenthèses.

Ainsi, dans notre cas, si l’on change $z$ en $x$ et qu’on divise l’équation par $2p,$ coefficient de $x,$ elle deviendra

${\frac {1}{2p}}-x+{\frac {x^{2}}{2p}}=0,$

laquelle, étant comparée à

$u-x+f(x)=0,$

donne

$u={\frac {1}{2p}},\quad {\text{et}}\quad f(x)={\frac {x^{2}}{2p}}\,;$

donc

$f(u)={\frac {u^{2}}{2p}}.$

de manière que la série précédente deviendra

$u^{-m}+{\frac {\left(u^{-m}\right)'u^{2}}{2p}}+\left({\frac {\left(u^{-m}\right)'u^{4}}{2(2p)^{2}}}\right)'+\left({\frac {\left(u^{-m}\right)'u^{6}}{2.3.(2p)^{3}}}\right)''+\ldots ,$

où il faudra faire $u={\frac {1}{2p}},$ après avoir pris les fonctions dérivées désignées par les traits appliqués aux parenthèses.