Résolution des équations numériques, sur la somme des puissances des racines des équations.
Suivant ce théorème, si l’on a une équation quelconque de la forme
![{\displaystyle u-x+f(x)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6751db464980977e017e120b9e3df700b9d1c11)
où
est l’inconnue, la formule
![{\displaystyle u^{-m}+\left(u^{-m}\right)'f(u)+\left({\frac {\left(u^{-m}\right)'f^{2}(u)}{2}}\right)'+\left({\frac {\left(u^{-m}\right)'f^{3}(u)}{2.3}}\right)''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8be26d08cd1e59520baed9eab676e539f48b4da)
n’étant continuée que tant qu’il y aura des puissances négatives de
donne la somme de toutes les racines élevées chacune à la puissance
mais, étant continuée à l’infini, elle ne donne que la même puissance de la plus petite des racines. Les quantités
sont le carré, le cube, etc. de
et les traits appliqués aux parenthèses désignent les fonctions dérivées des fonctions de
renfermées entre ces parenthèses.
Ainsi, dans notre cas, si l’on change
en
et qu’on divise l’équation par
coefficient de
elle deviendra
![{\displaystyle {\frac {1}{2p}}-x+{\frac {x^{2}}{2p}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faa909115b11965e60c16c28913f3cba40cff370)
laquelle, étant comparée à
![{\displaystyle u-x+f(x)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6751db464980977e017e120b9e3df700b9d1c11)
donne
![{\displaystyle u={\frac {1}{2p}},\quad {\text{et}}\quad f(x)={\frac {x^{2}}{2p}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49f3cef82394f7fc207a506444e5c00b5348886f)
donc
![{\displaystyle f(u)={\frac {u^{2}}{2p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74ff32ca127d4da18cda1209058630f14fce514e)
de manière que la série précédente deviendra
![{\displaystyle u^{-m}+{\frac {\left(u^{-m}\right)'u^{2}}{2p}}+\left({\frac {\left(u^{-m}\right)'u^{4}}{2(2p)^{2}}}\right)'+\left({\frac {\left(u^{-m}\right)'u^{6}}{2.3.(2p)^{3}}}\right)''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fbf1406cfb6e335fd7a1b7bc392bc1159cbd8a6)
où il faudra faire
après avoir pris les fonctions dérivées désignées par les traits appliqués aux parenthèses.