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Les coefficients $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant restés indéterminés, il faudra les déterminer par la nature de la fonction $y.$ Or il est visible qu’on a

$\mathrm {A} =y,\quad \mathrm {B} =y',$

en faisant $p=0.$ Ainsi, puisque la fonction $y$ est égale à

$\left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m},$

on aura d’abord, en faisant $p=0,$

$\mathrm {A} =\left({\sqrt {-1}}\right)^{m}.$

Ensuite, en faisant $p=0$ dans la fonction dérivée $y'$ trouvée ci-dessus, on aura

$y'=m\left({\sqrt {-1}}\right)^{m-1}=\mathrm {B} .$

Substituant donc ces valeurs de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ on aura le développement de l’expression

$\left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}.$

Pour avoir celui de l’expression

$\left(p-{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m},$

il n’y aura qu’à prendre le radical ${\sqrt {p^{2}-1}}$ en moins ; mais, comme ce radical n’entre plus dans l’équation dérivée en $y,$ par laquelle nous avons déterminé les coefficients de la série, il s’ensuit qu’on aura la même série pour cette dernière expression que pour la première, aux coefficients $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ près, qui pourront être différents ; et on trouvera ici, par le même procédé,

$\mathrm {A} =\left(-{\sqrt {-1}}\right)^{m},\quad \mathrm {B} =m\left(-{\sqrt {-1}}\right)^{m-1}.$

Donc, puisque la somme de ces deux expressions donne la valeur de $2\cos mx,$ comme on l’a vu plus haut, on aura cette valeur en substituantdans la série $\mathrm {A} +\mathrm {B} p+\mathrm {C} p^{2}+\ldots ,$ la place de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ la somme des deux valeurs qu’on vient de trouver, c’est-à-dire en faisant

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&\left({\sqrt {-1}}\right)^{m}+\left(-{\sqrt {-1}}\right)^{m},\\\mathrm {B} =&m\left({\sqrt {-1}}\right)^{m-1}+m\left(-{\sqrt {-1}}\right)^{m-1}\,;\end{aligned}}$