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Divisant cette équation par l’équation primitive, on a

${\frac {z'}{z}}={\frac {m{\sqrt {-1}}}{\sqrt {1-q^{2}}}}\,;$

multipliant en croix et carrant, on aura

$z'^{2}\left(1-q^{2}\right)=-m^{2}z^{2}.$

Prenant de nouveau les fonctions dérivées et divisant par $2z',$ on obtiendra cette équation du second ordre en $z$

$m^{2}z-qz'-\left(q^{2}-1\right)z''=0,$

qui est, comme l’on voit, entièrement semblable à l’équation en $y$ et $p$ trouvée plus haut.

Ainsi, en supposant

$z=\mathrm {A} +\mathrm {B} q+\mathrm {C} q^{2}+\mathrm {D} q^{3}+\ldots ,$

on trouvera les mêmes valeurs des coefficients ; mais, comme les deux premiers $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ demeurent indéterminés, ils pourront être différents, à raison de la diversité des fonctions $y$ et $z$ en $p$ et en $q.$

Pour trouver ici ces deux coefficients, ce qu’il y a de plus simple, c’est de chercher par le développementactuel les deux premiers termes de la série. Or, puisque ${\sqrt {1-q^{2}}}$ donne

$1-{\frac {q^{2}}{2}}+\ldots ,$

il est évident que les deux premiers termes de

$\left(1+q{\sqrt {-1}}-{\frac {q^{2}}{2}}+\ldots \right)^{m}$

sont $1+mq{\sqrt {-1}}\,;$ ainsi l’on aura

$\mathrm {A} =1,\quad \mathrm {B} =m{\sqrt {-1}}.$