Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 10.djvu/137

fourniront, par la dérivation, ces deux-ci :

${\begin{aligned}\sin mx=&p\left[mq-{\frac {m\left(m^{2}-4\right)}{2.3}}q^{3}+{\frac {m\left(m^{2}-4\right)\left(m^{2}-16\right)}{2.3.4.5}}q^{5}-\ldots \right],\\\cos mx=&p\left[1-{\frac {m^{2}-1}{2}}q^{2}+{\frac {\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)}{2.3.4}}q^{4}-\ldots \right],\end{aligned}}$

qui répondent, comme l’on voit, aux formules des Tables (K) et (G), et qui sont par conséquent aussi générales pour des valeurs quelconques de $m.$ Ainsi toutes les formules de ces différentes Tables sont démontrées d’une manière générale.

Le théorème de Cotes est si intimement lié à la théorie des sections angulaires, que nous ne pouvons nous dispenser d’en dire un mot ici.

On ignore comment Cotes l’a trouvé, et on en a donné après sa mort différentes démonstrations plus ou moins simples, et même plus ou moins rigoureuses. Sans avoir recours aux expressions imaginaires comme on le fait communément, on peut le déduire directement des formules mêmes données par Viète, que nous avons rapportées dans la Table (A) ; et il est vraisemblableque c’est ainsi que Cotes y est parvenu.

En effet, si l’on multiplie ces formules par $2$ et qu’on y suppose $p=y+{\frac {1}{y}},$ elles se réduisent à cette forme simple

${\begin{aligned}&2\cos 1x=y\ +{\frac {1}{y}},\\&2\cos 2x=y^{2}+{\frac {1}{y^{2}}},\\&2\cos 3x=y^{3}+{\frac {1}{y^{3}}},\\&2\cos 4x=y^{4}+{\frac {1}{y^{4}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

d’où il est facile de conclure, en général,

$2\cos mx=y^{m}+{\frac {1}{y^{m}}}.$