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Pour se convaincre d’une manière plus directe de la généralité de cette formule, il suffit de considérer que si, dans l’équation

$2\cos x\cos mx=\cos(m-1)x+\cos(m+1)x,$

on fait

$2\cos x=y+{\frac {1}{y}},$

et qu’on suppose que deux termes consécutifs $2\cos(m-1)x$ et $2\cos mx$ soient de la forme

$y^{m-1}+{\frac {1}{y^{m-1}}}\quad {\text{et}}\quad y^{m}+{\frac {1}{y^{m}}},$

elle donnera

$2\cos(m+1)x=\left(y+{\frac {1}{y}}\right)\left(y^{m}+{\frac {1}{y^{m}}}\right)-\left(y^{m-1}+{\frac {1}{y^{m-1}}}\right)=y^{m+1}+{\frac {1}{y^{m+1}}}.$

Ainsi, pourvu que les deux premiers termes $2\cos x$ et $2\cos x$ soient de la forme $y^{m}+{\frac {1}{y^{m}}},$ en faisant $m=0$ et $m=1,$ ce qui est en effet, tous les autres seront nécessairement de la même forme.

Maintenant les deux équations

$2\cos x=y+{\frac {1}{y}},\quad 2\cos mx=y^{m}+{\frac {1}{y^{m}}}$

donnent ces deux-ci

$y^{2}-2y\cos x+1=0,\quad y^{2m}-2y^{m}\cos mx+1=0,$

qui doivent donc avoir lieu en même temps ; par conséquent, il faut qu’elles aient une racine commune.

Ce dernier théorème a été donné par Moivre, sans démonstration, dans les Transactions philosophiques de 1722, année où a paru l’Harmonia mensurarum de Cotes, qui était mort six ans auparavant.

Soit maintenant $a$ la racine commune à ces deux équations ; comme elles demeurent les mêmes en y changeant $y$ en ${\frac {1}{y}},$ il s’ensuit que ${\frac {1}{a}}$ sera encore une racine commune aux mêmes équations ; mais l’équation

$y^{2}-2y\cos x+1=0,$